Регион 10 класс
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа 
таковы, что 
и 
Докажите, что из чисел 
какие-то два
отличаются более чем на 
Подсказка 1
Попробуем вычесть одно равенство из условия из второго. Если теперь разложить на множители, то получится (a-b)(b-c)(c-a)=2. Можно ли теперь как-то упорядочить переменные?
Подсказка 2
Можно! Заметим, что условие содержит циклическую симметрию, и можно считать, что число c является наибольшим. Но тогда из равенства из предыдущей подсказки легко восстанавливается неравенство a < b < c. В условии нас просят рассуждать о разностях, но с ними работать не удобно. Можно ли переформулировать теперь условие, чтобы от этих разностей избавиться?
Подсказка 3
Конечно! Просто сделаем замену z = c-a, x = b-a и y = c-b. Тогда x, y > 0 и z = x + y. А что тогда нужно доказать?
Подсказка 4
Верно! Нужно доказать, что z > 2. Причем у нас есть равенство из первой подсказки, которое примет вид xyz = 2. Как можно применить это равенство для нашего доказательства?
Подсказка 5
Точно! Заметим, что 4xy ≤ (x+y)². Тогда 2 = xyz ≤ z³/4, откуда следует, что 2 ≤ z. Осталось проверить, что не может быть равенства. Как это сделать?
Подсказка 6
Заметим, что если x и y различны, то рассуждения из прошлой подсказки дадут строгое неравенство, и случай z = 2 возникает только при x = y = 1. Тогда по определению x и y: b = a + 1 и c = a + 2. Какое тогда возникает противоречие с исходным условием?
Вычтем из второго равенства первое и разложим левую часть на множители, получим:
Не умаляя общности (в условии имеется циклическая симметрия переменных 
будем считать, что 
наибольшее из данных чисел.
Тогда 
но из (*) видим, что 
Значит, 
Аналогично 
Тогда из 
следует 
Получается
Обозначим 
так что 
тогда 
принимает вид 
Нам нужно доказать, что
Заметим, что 
так как это неравенство преобразуется к виду 
(или следует из неравенства о среднем
арифметическом и среднем геометрическом). Отсюда 
и далее
Получаем 
откуда 
и поэтому 
Остаётся показать, что 
невозможно. Если 
то 
и тогда в
предыдущем рассуждении мы получим строгое неравенство 
Значит, 
возможно лишь при 
Рассмотрим этот случай
отдельно.
В этом случае 
и 
Тогда
что противоречит первому равенству из условия задачи.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
