Регион 10 класс

Нужно показать, что Аня всегда может добиться, чтобы разноцветных пар было не меньше 50, а Боря сможет помешать ей добиться, чтобы таких пар было больше 50.

Аня красит в любой цвет любую точку, а дальше каждым ходом выбирает пару из непокрашенной точки и стоящей рядом с ней покрашенной (такая, очевидно, найдётся), и красит непокрашенную точку в цвет, отличный от цвета покрашенной. При этом образуется новая пара соседних разноцветных точек.

Боря каждым своим ходом выбирает пару из непокрашенной точки и стоящей рядом с ней покрашенной, и красит непокрашенную точку в цвет, совпадающий с цветом покрашенной. При этом образуется новая пара соседних одноцветных точек.

Всего в круге имеется 100 пар соседних точек, и каждый игрок делает по 50 ходов. В итоге Боря добьётся того, что хотя бы 50 пар будут одноцветными, а Аня — что хотя бы 49 пар будут разноцветными. Однако количество разноцветных пар всегда чётно. Действительно, после окончания игры пройдём полный круг, начиная с какой-либо отмеченной точки (пусть для определённости с красной). Группы из идущих подряд красных и синих точек будут чередоваться: К—С—К—С—…—К, и значит, встретим пар разноцветных соседей вида К—С столько же, сколько пар вида С—К. Поэтому если пар разноцветных соседних точек не меньше 49, то их хотя бы 50.