Регион 10 класс
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В окружность 
вписан шестиугольник 
. Известно, что точка 
делит дугу 
пополам, а треугольники 
и
имеют общую вписанную окружность. Прямая 
пересекает отрезки 
и 
в точках 
и 
, а прямая
пересекает отрезки 
и 
в точках 
и 
соответственно. Докажите, что точки 
лежат на одной
окружности.
Подсказка 1
Из-за общей вписанной окружности добываем ещё одну биссектрису и, соответственно, середину дуги
Подсказка 2
Раз проведены из середин дуг отрезки, то поможет лемма, что всегда получается добыть ещё вписанность (посчитайте угол между хордами и вписанный угол)
Подсказка 3
Явно же не хочется в XYTZ проводить что-то такое и считать углы, значит, надо будет считать отрезки. А счёт отрезков для вписанных четырёхугольников это степень точки писать
Подсказка 4
Рассмотрите случай, когда стороны XYTZ параллельны, а в ином случае можно пересечь и реализовать план пункта 2
Пусть 
— центр общей вписанной окружности 
треугольников 
и 
. Так как 
— середина дуги 
, точки 
лежат на одной прямой. Окружность 
вписана в угол 
поэтому 
— биссектриса угла 
а точка 
— середина дуги
Сформулируем и докажем следующее утверждение.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Лемма. Дана окружность и её хорда 
Точка 
— середина одной из дуг 
Через 
провели две прямые,
которые пересекают прямую 
и окружность в точках 
и 
Тогда точки 
лежат на одной
окружности.
Доказательство 1. Из равенства углов
следует искомая вписанность.
.png)
____________________________________________________________________________________________________
Доказательство 2. Заметим, что 
Тогда описанная окружность треугольника 
касается прямой
поэтому 
Аналогично 
Следовательно, точке 
лежат на одной
окружности.
.png)
____________________________________________________________________________________________________
Лемма доказала вписанность 
Аналогично, четырёхугольник 
— вписанный. Если 
то конструкция симметрична
относительно прямой 
и утверждение задачи очевидно. Рассмотрим точку 
пересечения 
и 
Приравнивая произведения
отрезков секущих для окружностей 
и 
(т.е. степень точки 
относительно окружностей), получаем
равенства
Из 
следует, что точки 
лежат на одной окружности.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
