Регион 10 класс

Положим Предположим противное: для каждого из чисел существует разложение где Заметим, что каждое из чисел и строго больше а также что иначе Значит, каждое из чисел набора лежит в множестве из чисел Таким образом, в этом наборе найдутся два равных числа. Пусть каждое из этих двух чисел равно

Пусть эти равные числа имеют равные индексы в наборе, то есть при некотором Тогда поэтому число делится на простое Так как это может быть лишь при Тогда соответствующее значение равно что при больше, чем Противоречие (так как ).

В противном случае существуют индексы такие, что для которых числа и делятся на Тогда и также делится на Из взаимной простоты чисел и получаем, что делится на а это невозможно, так как

Таким образом, в каждом случае получено противоречие и, следовательно, указанное в условии задачи число всегда найдётся.