Закл (финал) 11 класс

Мы докажем, что существуют даже числа удовлетворяющие следующим (более сильным) условиям:

при всех

отношение любых двух из чисел является степенью двойки (с целым показателем).

Заметим, что доказываемое утверждение не изменится, если какое-то из чисел (а с ним и соответствующее умножить на некоторую степень двойки. Умножим каждое из чисел на степень двойки так, чтобы все полученные числа лежали в промежутке

Не умаляя общности можно считать, что Покажем теперь, что одна из следующих последовательностей удовлетворяет всем трём условиям:

Поскольку для любых и выполнено неравенство каждая из последовательностей удовлетворяет Кроме того, каждая из последовательностей, очевидно, удовлетворяет Осталось показать, что хотя бы одна из них удовлетворяет

Для этого заметим, что произведение всех чисел во всех последовательностях равно

Следовательно, произведение чисел хотя бы в одной из последовательностей не превосходит что и требовалось.