Закл (финал) 11 класс
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах 
и 
треугольника 
выбраны точки 
и 
соответственно так, что 
Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
Точка 
симметрична точке 
относительно прямой 
Отрезок 
пересекает окружность 
описанную около треугольника 
в точке 
Докажите, что окружность, описанная около треугольника 
касается окружности
Источники:
Случай 
следует из симметрии; без ограничения общности будем считать, что 
Выберем на 
точку 
так, что 
— равнобокая трапеция. Тогда 
и, аналогично,
Значит, 
и 
Поэтому гомотетия с центром 
переводящая отрезок 
в 
переводит
треугольник 
в 
следовательно, точка 
(а потому и точка 
) лежит на 
Пусть 
— центр окружности, описанной около треугольника 
Тогда 
Поскольку 
получаем 
то есть 
касается 
в точке 
Так как 
то 
также касается
Пусть 
— окружность, описанная около треугольника 
тогда 
и 
гомотетичны с центром в 
поскольку 
Значит, 
также является касательной к 
Кроме того, 
лежит на серединном перпендикуляре 
к отрезку 
поэтому
Итак, 
то есть 
касается описанной окружности треугольника 
и 
в точке 
Отсюда и следует требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
