Тема . Заключительный этап ВсОШ

Закл (финал) 11 класс

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела заключительный этап всош

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#99093

Даны положительные числа $x ,x ,...,x 1 2 n$ , где $n ≥ 2$ . Докажите, что

1 +x2 1+ x2 1+x2n−1 1 +x2 1+x11x2 + 1+-x22x3 + ...+ 1+xn−1xn-+1-+xnnx1 ≥n.

Показать доказательство

По неравенству о средних

-1+x21- -1+x22 1+x2n−1- -1+x2n-- ∘ -------------------- 1+x1x2-+1+x2x3 +...+-1+xn−1xn +-1+xnx1-≥ n-(1+-x21)⋅...⋅(1+-x2n)- n (1 +x1x2)⋅...⋅(1+ xnx1)

В условии требуют доказать, что левая часть этого неравенства не меньше 1, поэтому достаточно доказать, что правая часть (оценка снизу) не меньше 1, то есть

(1 +x21)⋅...⋅(1 +x2n)≥ (1 +x1x2)⋅...⋅(1+ xnx1)

В силу положительности чисел неравенство эквивалентно возведённому в квадрат

(1+ x2)(1+ x2)⋅(1+ x2)(1+x2)⋅...⋅(1+x2 )(1+ x2)⋅(1+ x2)(1+ x2)≥(1+ x x)2⋅(1 +x x )2...⋅(1+ x xn)2⋅(1 +xnx )2 1 2 2 3 n−1 n n 1 12 2 3 n− 1 1

Здесь последовательная пара скобок слева не меньше соответствующей скобки справа. Например,

2 2 2 (1+ x1)(1+ x2)≥ (1+x1x2),

поскольку

x21+ x22 ≥ 2x1x2.

Аналогично с остальными скобками.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse