.11 Неопределенный интеграл и первообразная.

1. Действительно, пусть - некоторая первообразная для . Тогда ясно, что - будет первообразной для (убедитесь непосредственным дифференцированием!).

Но тогда множество всех первообразных для есть множество всех первообразных для , умноженное (в смысле каждую функцию из этого множества мы умножаем) на .

2. Действительно, пусть - некоторая первообразная для , а - некоторая первообразная для . Тогда ясно, что - будет первообразной для (убедитесь непосредственным дифференцированием!).

Но тогда множество всех первообразных для есть множество всех первообразных для плюс множество всех первообразных для (в том смысле, что мы складываем всевозможные первообразные из первого и из второго множества).

3. Действительно, если - первообразная для , а - первообразная для , то, при условии, что - непрерывно дифференцируема, получим, что

(тут мы явно воспользовались тем, что производная в любой точке, в частности, в точке равна значению в этой точке).

Но ясно, что просто тупо по определению

Следовательно, любая первообразные слева и справа при дифференцировании равны. А значит, сами первообразные отличаются разве что на константу по лемме о том, что производная равна нулю лишь у константной функции. То есть мы доказали, что:

(только эту формулу надо правильно понимать, конечно. Справа у нас первообразная по переменной , и слева, стало быть, тоже должна быть по . Так вот слева мы считаем зависимой переменной с зависимостью . Тогда и слева у нас переменная , и справа переменная . И вот именно в таком смысле мы эту формулу только что доказали.)