Тема . Математический анализ

.11 Неопределенный интеграл и первообразная.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104064

Вычислить

∫ cosxdx --4-------4--------2------ cos x+ sin x + 2sin x + 1

Показать ответ и решение

Так как подынтегральная функция нечетна по косинусу, то рекомендуется замена $sinx = t$ . Тогда $cos xdx = dt$ и

∫ ∫ ∫ ∫ ---------cosxdx-----------= ---------dt---------- = ---dt-- = 1- --dt-- cos4x + sin4 x+ 2 sin2 x+ 1 (1− t2)2 + t4 + 2t2 + 1 2t4 + 2 2 t4 + 1

Раскладывая дробь $-1-- t4+1$ в сумму простейших, получаем:

√ -- √ -- --1---= -√1----t+√--2---− -1√-----t−√---2--- t4 + 1 2 2t2 + 2t + 1 2 2t2 − 2t+ 1

Мы получаем

1∫ dt 1 ∫ (t+ √2)dt 1 ∫ (t− √2-)dt -- -4----= -√-- 2---√-------− -√--- -2--√------- 2 t + 1 4 2 t + 2t+ 1 4 2 t − 2t+ 1

И далее, применяя общую формулу для интегрирования простейших дробей с квадратичным трёхчленом в знаменателе, т.е. формулу

∫ --Bx-+-D--- B- 2 D--−-B2p- --x+--p2- x2 + px + qdx = 2 ln|x + px+ q|+ ∘ ----p2arctg∘ ----p2 + C q − 4- q − -4

Мы получаем:

∫ √ -- ∫ √ -- -1√--- -(t+√--2)dt-− -√1-- -(t−-√-2)dt- = 4 2 t2 + 2t+ 1 4 2 t2 − 2t + 1

√-- √2- √ -- √2- = -1√--(1-ln |t2 + 2t + 1|+ arctg t+√-2- − 1-ln |t2 − 2t+ 1|+ arctg t−√-2-)= 4 2 2 -22- 2 -22-

-- √2- -- √2- = -1√--(1-ln |sin2 x+ √ 2sinx + 1|+ arctg sinx√+-2-− 1ln|sin2x − √ 2sin x + 1|+ arctg sinx√−-2-) 4 2 2 -2- 2 -2- 2 2

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse