Тема . Математический анализ

.11 Неопределенный интеграл и первообразная.

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела математический анализ
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#46743

Вычислить

∫  ∘ -------
     x3 + x4dx
Показать ответ и решение

Если мы преобразуем подынтегральное выражение как √ -------             1
  x3 + x4 = x2(1 + x−1)2,  то станет ясно, что мы имеем дело не с чем иным, как с дифференциальным биномом при                   1
m = 2,n = − 1,p = 2.  И, поскольку m+n1-= − 3  - целое, то применяют замену 1 + x−1 = u2.

Тогда x = (u2 − 1)−1,  dx = (−u22−udu1)2.

И, таким образом, мы имеем

∫ ∘ -------     ∫  − 2u⋅u ⋅(u2 − 1)− 2du      ∫   u2du
    x3 + x4dx =    ------(u2 −-1)2----- = − 2  (u2-−-1)4

Далее, так как

---u2----= − ---1-----− ----1-----+  ----1-----+ ----1----− -----1---- + ----1-----
(u2 − 1)4     32(u+ 1)   32(u + 1)2   16(u + 1)4   32(u−  1)  32 (u − 1)2   16(u− 1 )4

то

   ∫   u2du      1            1               1          1          1           1
− 2   --2----4-= ---ln |u + 1|− --ln|t− 1|− ---------− ---------+ ---------3 +---------3 + C =
      (u  − 1)    16           16          16(u + 1)  16(u − 1)  24(u + 1)   24(u − 1)

   1    ∘ -------       1    ∘ -------              1                  1
= ---ln|  1+ x −1 + 1|− --ln|  1 + x−1 − 1|− ---√------------ − ---√------------+
  16                    16                   16(  1+ x− 1 + 1)  16(  1+ x− 1 − 1)

+ ---√----1-------- + ---√----1-------- + C
  24(  1+ x −1 + 1)3  24(  1+ x −1 − 1)3
Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!