.11 Неопределенный интеграл и первообразная.

Поскольку степень многочлена в числителе больше, чем в знаменателе, то прежде чем раскладывать на простейшие, разделим с остатком многочлен на . Это делается стандартным алгоритмом - делением уголком.

В результате получим:

И, таким образом,

Поэтому нам нужно найти первообразную для правильной дроби . Для этого нам сначала нужно эту дробь разложить в сумму простейших дробей.

Как и положено по алгоритму, чтобы получить разложение на простейшие, нужно сначала разложить знаменатель на множители так, чтобы дальнейшее разложение было невозможно (либо на линейные множители, либо на квадратичные, не имеющие в корней).

Это разложение имеет вид:

Где, как мы видим, квадратичный множитель уже дальше не раскладывается, поскольку в корней не имеет.

Таким образом, будем искать разложение для нашей исходной дроби в виде:

Приведём к общему знаменателю справа:

Следовательно, раз равны знаменатели, то можем приравнять и числители, и получить следующую систему линейных уравнений на и :

Но прежде чем решать систему, заметим, что если в равенство

подставить , то получится, что . Тогда , . Следовательно, имеем:

А значит