.11 Неопределенный интеграл и первообразная.

Например, это функция, заданная формулой

Действительно, она не имеет первообразной на . Давайте докажем это от противного.

Пусть существует такая (потенциальная первообразная), что для любого выполнено

Таким образом, ясно, что при функция равна для какой-то константы . А при функция равна для какой-то константы . То есть мы получаем, что

Но, поскольку мы хотим, чтобы для любого выполнено

То это означает, что должна быть дифференцируема в каждой точке интервала . А, значит, и непрерывна в каждой точке точке интервала , поскольку из дифференцируемости в точке вытекает непрерывность в точке.

Но тогда, в частности, это означает, что должна быть непрерывна в точке .

То есть, во-первых, должен существовать

А, во-вторых, он должен быть равен .

Итак, раз должен существовать

То это означает, что должны существовать оба односторонних предела

И они должны быть равны между собой. Однако

Следовательно,

Откуда мы получаем, что , а, значит, . Допустим, (это никак не ограничивает общность) и тогда получается, что

Таким образом, получаем:

Но что же получается? А получается, что задается формулой

Но такая , разумеется, не будет дифференцируемой в точке .

(Это доказывается аналогично тому, что функция - недифференцируема в точке ).

Получили противоречие с тем, что должна быть всюду дифференцируема на интервале .

Отметим, что наш произвол в выборе констант и ни на что существенно не повлиял, поскольку при другом выборе этих констант функция просто сдвинулась бы вдоль оси , но принципиально в рассуждениях ничего бы не изменилось.