Тема . Математический анализ

.11 Неопределенный интеграл и первообразная.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77286

Найти неопределенный интеграл на каком-нибудь интервале при помощи интегрирования по частям

∫ x2 arccos xdx

Показать ответ и решение

Пусть $u(x) = arccosx,v ′(x) = x2$ . Тогда $v(x) = x33$ и мы будем иметь

∫ x3 ∫ x2 arccos xdx = arccos x---− v (x )u ′(x) = 3

∫ x3- 1- -x3dx--- = arccosx 3 + 3 √1-−-x2

Этот последний интеграл

∫ √-x3dx-- 1 − x2

тоже возьмем по частям. Пусть $u(x) = x2,v′(x) = √-x-- 1−x2$ , тогда $v(x) = − √1-−-x2$ . Таким образом,

∫ ∫ √-x3dx-- 2∘ ----2- ∘ -----2 1 − x2 = − x 1− x + 2 x 1 − x dx

Для подсчета интеграла $∫ x √1-−-x2dx$ сделаем замену $x2 = t$ . Тогда $t′(x) = 2x$ , $x′(t) = -1--= --1- t′(x) 2x(t)$ .

Тогда

∫ ∫ ∫ ∘ ----2- √ ----- --1-- 1- √ ----- x 1− x dx = x(t) 1 − t⋅2x(t)dt = 2 1− tdt

Теперь сделаем замену $1 − t = u$ . Тогда $′ t= − 1$ и

∫ ∫ ∫ 1- √ ----- 1- √ -- 1- 12 1- 1- 32 2 1 − tdt = − 2 udu = − 2 u du = − 2 ⋅ 3u + C = 2

1- 32 1- 2 32 = − 3 (1 − t) + C = − 3(1− x ) + C

Следовательно

∫ x3dx ∘ ------ 2 3 √-------= − x2 1 − x2 − -(1− x2)2 + C 1− x2 3

А значит

∫ 2 x3 1 2∘ ------ 2 2 3 x arccosxdx = arccosx 3-− 3x 1 − x2 − 9(1− x )2 + C

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse