Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию чисел

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#46762Максимум баллов за задание: 4

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?

б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1?

в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2023 г. Вариант 33

Показать ответ и решение

Пусть средний балл в школе №1 равен $A,$ средний балл в школе №2 равен $B,$ а количество учащихся в первой школе — $n.$ Тогда количество учащихся во второй школе равно $51− n.$

а) Пусть такое возможно. Суммарный балл до перехода учащегося из школы №1 в школу №2 былл $nA.$ После перехода учащегося средний балл вырос в два раза, то есть стал $2A,$ а количество учащихся стало $n − 1.$ Тогда суммарный балл после перехода учащегося стал $2A (n − 1).$ Посмотрим, на сколько уменьшился суммарный балл:

An− 2A(n − 1)= An − 2An+ 2A = 2A− An = A(2− n)

Так как $n ≥2$ по условию, то $2− n≤ 0,$ то есть $A (2− n)≤ 0.$ Так как каждый учащийся набрал натуральное число баллов, то суммарный балл после перехода учащегося в школу №2 должен был уменьшится на положительное число. Противоречие.

б) Пусть учащийся, который перешёл из школы №1 в школу №2 набрал $x$ баллов. Так как средний балл в школе №1 вырос на $10%,$ то он стал $1,1A,$ при этом количество учащихся стало на 1 меньше, то есть $n− 1.$ Во второй школе количество учащихся стало $51− (n− 1)= 52− n,$ а средний балл стал на 10% больше, то есть $1,1B.$ Суммарный балл в первой школе равен сумме баллов учащегося, который перешел во вторую школу и суммарному баллу в первой школе после перехода этого учащегося, то есть

nA = 1,1(n − 1)A +x ⇔ nA= 1,1nA − 1,1A +x ⇔ ⇔ nA = 11A− 10x ⇔ 10x= A (11− n)

Так как $x$ — натуральное число по условию, то $10x$ — натуральное число, а значит, и $A (11− n)$ — натуральное число. Тогда $11− n ≥ 0 ⇔ n≤ 11.$

Аналогично

1,1(52− n)B = (51− n)B +x ⇔ 57,2B − 1,1nB = 51B− nB + x ⇔ ⇔ nB = 62B− 10x ⇔ 10x= B (62 − n)

По условию $B = 1.$ Тогда $10x =62 − n.$ Так как количество баллов каждого учащегося — натуральное число, то $62− n$ делится на 10. Так как $2≤ n≤ 11,$ то $n = 2.$

20 A (11 − n) =10x =B (62 − n) ⇒ 9A = 60 ⇒ A = 3

Противоречие, так как средний балл по условию — целое число.

в) По условию $B$ — целое число. Значит, $B ≥ 1.$ По пункту б $B ⁄= 1,$ значит, $B ≥ 2.$ Пусть $B = 2.$ Из пункта б:

10x= (11 − n )A 10x = (62 − n )B

Подставим $B = 2:$

10x =2(62− n) ⇔ 5x= 62− n

Значит, $62 − n$ делится на 5, при этом по доказанному ранее $n≤ 11.$ Тогда $n = 2$ или $n= 7.$

Пусть $B = 2, n = 2.$ Тогда

40 A (11 − n) =B (62 − n) ⇒ 9A = 120 ⇔ A = 3-

По условию средний балл — целое число, значит, такой вариант невозможен.

Пусть $B = 2, n = 7.$ Тогда

A (11 − n) =B (62 − n) ⇒ 4A = 110 ⇔ A = 55 2

По условию средний балл — целое число, значит, такой вариант невозможен.

Значит, $B ≥3.$ Тогда имеем уравнение

10x= 3(62− n)

Приведём пример, в котором $B = 3.$

Если $n = 2,$ $x= 18,$ то средний балл $A$ в школе №1 равен $180 =20. 9$ Пусть у перешедшего учащегося было 18 баллов, у оставшегося в школе №1 — 22 балла. Тогда средний балл до перехода в школе №1 был равен $18+-22 2 = 20.$ После перехода учащегося с 18 баллами средний балл в школе №1 стал равен $22 = 22= 1,1⋅20. 1$

Пусть в школе №2 до перехода учащегося из школы №1 было 49 учащихся с баллом 3. Тогда средний балл в школе №2 был 3. После перехода учащегося из школы №1 средний балл стал равен

49⋅3-+18 50 = 3,3 = 1,1 ⋅3

Ответ:

а) Нет

б) Нет

в) 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#46763Максимум баллов за задание: 4

Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 30, но меньше 40, а в автобусах модели Б — больше 40, но меньше 50. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.

а) Может ли потребоваться 5 автобусов модели А?

б) Найдите наименьшее возможное количество детей в группе, если известно, что их больше 150.

в) Найдите наибольшее возможное количество детей в группе.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2023 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

Пусть в группе $n$ детей, в автобусе модели А $x$ мест, в автобусе модели Б $y$ мест. Пусть необходимо $k$ автобусов типа А, чтобы перевезти детей. Тогда для того, чтобы перевезти детей на автобусе модели Б, нужен $k − 1$ автобус. Тогда

n = kx= (k− 1)y

а) $k =5.$ Тогда

n = 5x= 4y

Так как $5x$ делится на 5, то $4y$ делится на 5. Числа 4 и 5 — взаимно простые числа, поэтому $y$ делится на 5. По условию $40 <y < 50.$ Если $y = 45,$ то $4⋅45 x = -5-= 36.$ Значит, если $x= 36,$ $y = 45,$ то может потребоваться 5 автобусов модели А.

б) Так как детей больше 150, то $n≥ 151.$ По условию $y ≤ 49,$ значит, $k − 1 = n≥ 151> 3. y 49$ Тогда нужно хотя бы 4 автобуса модели Б.

Если автобусов модели Б больше 4, то есть хотя бы 5, то так как $y ≥ 41,$ то всего детей не меньше, чем $5⋅41= 205.$

Если автобусов модели Б ровно 4, то автобусов модели А нужно 5. Тогда $n = 5x= 4y.$ Так как $n =5x = 4y,$ то $n$ делится на 5 и 4. Числа 4 и 5 взаимно просты, поэтому $n$ делится на 20. Наименьшее число, которое делится на 20 и больше 150 — это 160. Если $n= 160,$ то $y = 1640-=40,$ но по условию мест в автобусе модели Б больше 40. Значит, $n≥ 180.$ Если $n= 180,$ то $180 180 x = -5-=36, y =-4-= 45$ — удовлетворяет условию. Значит, наименьшее число детей — 180.

в) Требуется найти максимальное $n$ такое, что при целых $x,$ $y,$ $k$ верно $n = kx= (k− 1)y.$

kx = (k − 1)y ⇒ x = k−-1-= 1− 1 y k k

$x≤ 39,$ $y ≥41 ⇒ xy ≤ 3491.$ Тогда

1 39 1 − 2 1− k ≤ 41 ⇔ − k ≤-41- ⇔ 2 1 41 ⇔ 41-≤ k ⇔ k ≤ 2 =20,5

Значит, $k ≤ 20.$ Так как $k$ и $k − 1$ взаимно просты, то $y$ делится на $k,$ $x$ делится на $k− 1.$ Заметим, что для чисел от 17 до 20 верно, что при умножении на 3, они дают больше 49, а при умножении на 2 меньше 41. Значит, среди чисел от 41 до 49 нет чисел, делящихся на 17, 18, 19, 20. Значит, $k ≤ 16.$ Начнём перебирать $k :$

1.: $k = 16.$ По условию $30< x< 40,$ но при этом $x$ делится на $k− 1= 15.$ Среди чисел от 31 до 39 нет чисел, делящихся на 15, поэтому этот вариант невозможен.
2.: $k = 15.$ Тогда $x$ делится на $k− 1= 14.$ Среди чисел от 31 до 39 нет чисел, делящихся на 14, поэтому этот вариант так же невозможен.
3.: $k = 14.$ Среди чисел от 41 до 49 на 14 делится только 42. Значит, $y = 42.$ Тогда $x = 42⋅13-= 39 14$ — удовлетворяет условию. Детей в этом случае $14 ⋅39 = 546.$

Заметим, что если автобусов модели А будет не больше 13, то всего детей не больше, чем $13⋅39= 507,$ так как в каждом автобусе не более 39 мест. Значит, наибольшее количество детей — 546.

Ответ:

а) Да, может

б) 180

в) 546

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания