17.02 Задачи №17 из сборника И.В. Ященко
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность с центром в точке 
вписана в ромб 
и касается его сторон
и 
соответственно в точках 
и 
а) Докажите, что прямая 
параллельна диагонали ромба 
б) Найдите длину диагонали 
если известно, что 
и 
Источники:
а) Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны,
поэтому 
так как это касательные, проведенные из точки 
ко
вписанной окружности ромба.
Рассмотрим треугольник 
В нем 
поэтому он равнобедренный.
Тогда углы при его основании 
равны
Все стороны ромба равны, поэтому 
Рассмотрим треугольник 
В нем 
поэтому он равнобедренный.
Тогда углы при его основании 
равны
Тогда
Таким образом, соответственные углы 
и 
образованные прямыми
и 
и секущей 
равны, значит, 
б) Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны,
поэтому 
так как это касательные, проведенные из точки 
ко
вписанной окружности ромба.
Рассмотрим треугольник 
В нем 
поэтому он равнобедренный.
Тогда углы при его основании 
равны
Рассмотрим треугольник 
В нем 
поэтому он равнобедренный.
Тогда углы при его основании 
равны
Тогда
Таким образом, соответственные углы 
и 
образованные прямыми
и 
и секущей 
равны, значит, 
Диагонали ромба перпендикулярны, то есть 
а значит,
перпендикулярны и прямые, параллельные им, то есть 
Рассмотрим треугольник 
Он прямоугольный, тогда по теореме
Пифагора
Значит, 
При этом 
— диаметр вписанной окружности, так как
на него опирается прямой вписанный угол 
Таким образом, 
проходит через точку 
пересечения диагоналей ромба,
так как центр вписанной окружности ромба — это точка пересечения его
диагоналей, ведь они являются биссектрисами его углов.
Заметим, что 
и 
как радиусы, проведенные в точки
касания, поэтому 
С другой стороны,
Рассмотрим треугольники 
и 
Они прямоугольные, то есть
Также у них равны углы 
и 
как накрест
лежащие, образованные параллельными прямыми 
и 
и секущей
Значит, треугольники 
и 
подобны. Запишем отношение
подобия:
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, значит,
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
