17.02 Задачи №17 из сборника И.В. Ященко

а) Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, поэтому так как это касательные, проведенные из точки ко вписанной окружности ромба.

Рассмотрим треугольник В нем поэтому он равнобедренный. Тогда углы при его основании равны

Все стороны ромба равны, поэтому

Рассмотрим треугольник В нем поэтому он равнобедренный. Тогда углы при его основании равны

Тогда

Таким образом, соответственные углы и образованные прямыми и и секущей равны, значит,

б) Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, поэтому так как это касательные, проведенные из точки ко вписанной окружности ромба.

Рассмотрим треугольник В нем поэтому он равнобедренный. Тогда углы при его основании равны

Рассмотрим треугольник В нем поэтому он равнобедренный. Тогда углы при его основании равны

Тогда

Таким образом, соответственные углы и образованные прямыми и и секущей равны, значит,

Диагонали ромба перпендикулярны, то есть а значит, перпендикулярны и прямые, параллельные им, то есть

Рассмотрим треугольник Он прямоугольный, тогда по теореме Пифагора

Значит, При этом — диаметр вписанной окружности, так как на него опирается прямой вписанный угол

Таким образом, проходит через точку пересечения диагоналей ромба, так как центр вписанной окружности ромба — это точка пересечения его диагоналей, ведь они являются биссектрисами его углов.

Заметим, что и как радиусы, проведенные в точки касания, поэтому

С другой стороны,

Рассмотрим треугольники и Они прямоугольные, то есть Также у них равны углы и как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми и и секущей Значит, треугольники и подобны. Запишем отношение подобия:

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, значит,

а) Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, поэтому так как это касательные, проведенные из точки ко вписанной окружности ромба.

Рассмотрим треугольник В нем поэтому он равнобедренный. Тогда углы при его основании равны

Все стороны ромба равны, поэтому

Рассмотрим треугольник В нем поэтому он равнобедренный. Тогда углы при его основании равны

Тогда

Таким образом, соответственные углы и образованные прямыми и и секущей равны, значит,

б) Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, поэтому так как это касательные, проведенные из точки ко вписанной окружности ромба.

Рассмотрим треугольник В нем поэтому он равнобедренный. Тогда углы при его основании равны

Рассмотрим треугольник В нем поэтому он равнобедренный. Тогда углы при его основании равны

Тогда

Таким образом, соответственные углы и образованные прямыми и и секущей равны, значит,

Диагонали ромба перпендикулярны, то есть а значит, перпендикулярны и прямые, параллельные им, то есть

Рассмотрим треугольник Он прямоугольный, тогда по теореме Пифагора

Значит, При этом — диаметр вписанной окружности, так как на него опирается прямой вписанный угол

Таким образом, проходит через точку пересечения диагоналей ромба, так как центр вписанной окружности ромба — это точка пересечения его диагоналей, ведь они являются биссектрисами его углов.

Заметим, что и как радиусы, проведенные в точки касания, поэтому

С другой стороны,

Рассмотрим треугольники и Они прямоугольные, то есть Также у них равны углы и как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми и и секущей Значит, треугольники и подобны. Запишем отношение подобия:

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, значит,

Рассмотрим треугольник Он прямоугольный, тогда по теореме Пифагора

Рассмотрим треугольники и Они прямоугольные, то есть Также у них угол — общий. Значит, треугольники и подобны. Запишем отношение подобия:

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, значит,

По формуле площади ромба

а) Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому и

Рассмотрим трапецию Её основание в два раза меньше основания Пусть продолжения её боковых сторон пересекаются в точке Тогда лежит на продолжении за точку и на продолжении за точку

Рассмотрим треугольник В нем отрезок является средней линией, так как он параллелен стороне и равен её половине. Тогда — середина — середина

Тогда — серединный перпендикуляр к стороне треугольника а — серединный перпендикуляр к его стороне Значит, — центр описанной окружности треугольника Тогда как радиусы описанной окружности треугольника

б) Пусть — середина Точка — точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника поэтому — серединный перпендикуляр к стороне то есть

Заметим, что

Тогда — это равнобедренный прямоугольный треугольник, так как в нем а медиана равна половине стороны, к которой проведена. Таким образом,

Углы и равны как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми и и секущей

Тогда

Треугольник равнобедренный, поэтому

Вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Заметим, что вписанный угол и центральный угол опираются на дугу поэтому

Тогда

Треугольник равнобедренный, поэтому

Значит,

а) Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому и

Рассмотрим трапецию Её основание в два раза меньше основания Пусть продолжения её боковых сторон пересекаются в точке Тогда лежит на продолжении за точку и на продолжении за точку

Рассмотрим треугольник В нем отрезок является средней линией, так как он параллелен стороне и равен её половине. Тогда — середина — середина

Тогда — серединный перпендикуляр к стороне треугольника а — серединный перпендикуляр к его стороне Значит, — центр описанной окружности треугольника Тогда как радиусы описанной окружности треугольника

б) Пусть — середина Точка — точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника поэтому — серединный перпендикуляр к стороне то есть

Заметим, что

Тогда — это равнобедренный прямоугольный треугольник, так как в нем а медиана равна половине стороны, к которой проведена. Таким образом,

Углы и — внутренние углы параллелограмма, прилегающие к одной стороне следовательно,

Тогда

Треугольник равнобедренный, поэтому

Вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Заметим, что вписанный угол и центральный угол опираются на дугу поэтому

Тогда

Треугольник равнобедренный, поэтому

Значит,

а) Так как — биссектриса угла то по свойству биссектрисы

Рассмотрим треугольники и У них угол — общий, как соответственные, образованные параллельными прямыми и и секущей как соответственные, образованные параллельными прямыми и и секущей Значит, треугольники и подобны. Запишем отношение подобия:

Пользуясь соотношением из свойства биссектрисы, получаем:

Далее имеем как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми и и секущей Луч — биссектриса угла следовательно, Тогда для треугольника получаем

Значит треугольник — равнобедренный, то есть

Таким образом, с учетом полученного выше отношения имеем:

Что и требовалось доказать.

б) Пусть Тогда

Рассмотрим треугольник Для него следовательно, треугольник — равнобедренный. Значит Далее имеем:

Кроме того, как противоположные стороны параллелограмма.

Из пункта а) имеем:

Запишем отношение подобия для треугольников и

По теореме косинусов для треугольника

По теореме косинусов для треугольника

Таким образом, искомое отношение равно

а) Так как — биссектриса угла то по свойству биссектрисы

Рассмотрим треугольники и У них угол — общий, как соответственные, образованные параллельными прямыми и и секущей как соответственные, образованные параллельными прямыми и и секущей Значит, треугольники и подобны. Запишем отношение подобия:

Пользуясь соотношением из свойства биссектрисы, получаем:

Далее имеем как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми и и секущей Луч — биссектриса угла следовательно, Тогда для треугольника получаем

Значит, треугольник — равнобедренный, то есть

Таким образом, с учетом полученного выше отношения имеем:

Что и требовалось доказать.

б) Пусть Тогда

Рассмотрим треугольник В нем следовательно, треугольник — равнобедренный. Значит Далее имеем:

Кроме того, как противоположные стороны параллелограмма.

Из пункта а) имеем:

Запишем отношение подобия для треугольников и

По теореме косинусов для треугольника

По теореме косинусов для треугольника

Таким образом, искомое отношение равно

a) Пусть

Так как и — середины сторон и соответственно, то — средняя линия. То есть

Так как — середина стороны то

Так как — середина стороны то

Так как в четырехугольник вписана окружность, то по свойству описанного четырехугольника суммы его противоположных сторон равны, то есть

Периметр треугольника равен

Что и требовалось доказать.

б) По доказанному в пункте а) имеем:

По теореме косинусов для треугольника

Отсюда получаем

Пусть — полупериметр. Тогда

По формуле Герона для треугольника

а) Пусть

Так как и — середины сторон и соответственно, то — средняя линия. То есть

Так как — середина стороны то

Так как — середина стороны то

Так как в четырехугольник вписана окружность, то по свойству описанного четырехугольника суммы его противоположных сторон равны, то есть

Периметр треугольника равен

Что и требовалось доказать.

б) По доказанному в пункте а) имеем:

По теореме косинусов для треугольника

Отсюда получаем

Пусть — полупериметр. Тогда

По формуле Герона для треугольника

Прежде чем решать пункты задачи, разберемся в конструкции из условия.

Пусть — точка пересечения диагоналей квадрата Пусть сторона квадрата равна Тогда его площадь равна Значит, отсекаемый треугольник и четырехугольник должны иметь площадь

Нам сказано, что прямая, проходящая через точку параллельно диагонали отсекает от квадрата треугольник. Пусть это прямая Есть два варианта её расположения.

1.

Если точка лежит на отрезке то прямая пересекает стороны и

Пусть в таком случае прямая пересекает в точке а в точке

Тогда — равнобедренный прямоугольный треугольник, так как а — его высота и биссектриса. Тогда и медиана, то есть Значит,

Таким образом,

Следовательно,

Теперь поймем как расположены точки и По условию отрезки и равны. Пусть Тогда

Значит,

В таком случае то есть точки и совпадают. Аналогично совпадаю точки и Значит, не является четырехугольником, так как точки и лежат на одной прямой. Таким образом, этот случай нам не подходит.

2.

Если точка лежит на отрезке то прямая пересекает стороны и

Пусть прямая пересекает в точке а в точке

Тогда аналогично предыдущему случаю — равнобедренный прямоугольный треугольник с площадью Значит,

Теперь, так как точки и лежат на и то точно является четырехугольником.

Если то

Пусть Тогда

Значит,

а) По условию значит,

б) Пусть пересекает в точке

Так как и то точки и симметричны относительно диагонали Тогда

Значит,

Таким образом,

В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана равна

Тогда

Следовательно,

Прежде чем решать пункты задачи, разберемся в конструкции из условия.

Пусть — точка пересечения диагоналей квадрата Пусть сторона квадрата равна Тогда его площадь равна Значит, отсекаемый треугольник и четырехугольник должны иметь площадь

Нам сказано, что прямая, проходящая через точку параллельно диагонали отсекает от квадрата треугольник. Пусть это прямая Есть два варианта её расположения.

1.

Если точка лежит на отрезке то прямая пересекает стороны и

Пусть в таком случае прямая пересекает в точке а в точке

Тогда — равнобедренный прямоугольный треугольник, так как а — его высота и биссектриса. Тогда и медиана, то есть Значит,

Таким образом,

Следовательно,

Теперь поймем как расположены точки и По условию отрезки и равны. Пусть Тогда

Значит,

В таком случае то есть точки и совпадают. Аналогично совпадаю точки и Значит, не является четырехугольником, так как точки и лежат на одной прямой. Таким образом, этот случай нам не подходит.

2.

Если точка лежит на отрезке то прямая пересекает стороны и

Пусть прямая пересекает в точке а в точке

Тогда аналогично предыдущему случаю — равнобедренный прямоугольный треугольник с площадью Значит,

Теперь, так как точки и лежат на и то точно является четырехугольником.

Если то

Пусть Тогда

Значит,

а) По условию значит,

б) Пусть пересекает в точке

Так как и то точки и симметричны относительно диагонали Тогда

Значит,

Таким образом,

В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана равна

Тогда

Следовательно,

а) Пусть прямая из условия пересекает в точке а — в точке пусть — точка пересечения диагоналей ромба. Опустим высоту на

Заметим, что Тогда

Так как а то — середина

Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой

По теореме Фалеса для угла и параллельных прямых и (обе эти прямые перпендикулярны )

Таким образом, в два раза меньше Значит, Значит,

Четырехугольник — прямоугольник. Тогда следовательно,

б) Заметим, что

Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому

Прямоугольные треугольники и подобны по двум углам: прямому и общему. Тогда

Значит, так как то по формуле косинуса двойного угла

Тогда

Значит,

Пусть Тогда по теореме косинусов для треугольника

Таким образом, сторона ромба равна

а) Пусть прямая из условия пересекает в точке а — в точке пусть — точка пересечения диагоналей ромба. Опустим высоту на

Заметим, что Тогда

Так как а то — середина

Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой

По теореме Фалеса для угла и параллельных прямых и (обе эти прямые перпендикулярны ):

Таким образом, в два раза меньше Значит, Значит,

Четырехугольник — прямоугольник. Тогда следовательно,

б) Заметим, что

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам, поэтому

Прямоугольные треугольники и подобны по двум углам: прямому и общему. Тогда

Значит, так как то по формуле косинуса двойного угла

Тогда

Значит,

Пусть сторона ромба равна Тогда по теореме косинусов для треугольника

Таким образом, сторона ромба равна

а) Пусть Так как и — центры вписанных в угол окружностей, то и равноудалены от сторон этого угла. Тогда точки и лежат на одной прямой и — биссектриса угла По свойству биссектрисы имеем:

Что и требовалось доказать.

б) Проведем радиусы и в точки касания окружностей со стороной Большая окружность вписана в прямоугольную трапецию следовательно, ее радиус равен Меньшая окружность вписана в прямоугольный следовательно, ее радиус равен

как прямоугольные с общим острым углом. Следовательно, если то

Следовательно,

следовательно,

С другой стороны,

При этом Следовательно,

Тогда искомая площадь равна

а) Пусть Так как и — центры вписанных в угол окружностей, то и равноудалены от сторон этого угла. Тогда точки и лежат на одной прямой и — биссектриса угла По свойству биссектрисы имеем:

Что и требовалось доказать.

б) Проведем радиусы и в точки касания окружностей со стороной Большая окружность вписана в прямоугольную трапецию следовательно, ее радиус равен Меньшая окружность вписана в прямоугольный следовательно, ее радиус равен

Далее, как прямоугольные с общим острым углом. Примем и запишем отношение подобия:

Следовательно,

Следовательно,

С другой стороны,

При этом Следовательно,

Тогда искомая площадь равна

а) как накрест лежащие, следовательно, и — равнобедренные, откуда

Так как то из следует, что По обобщенной теореме Фалеса имеем:

Следовательно,

Значит, трапеция равнобедренная. Что и требовалось доказать.

б) Проведем Обозначим

Так как трапеция равнобедренная, то откуда

Тогда как прямоугольные с равными острыми углами.

Следовательно,

Тогда

Значит, Тогда

Таким образом,

а) как накрест лежащие, следовательно, и — равнобедренные, откуда

Так как то из следует, что По обобщенной теореме Фалеса имеем:

Следовательно,

Значит, трапеция равнобедренная. Что и требовалось доказать.

б) Проведем Обозначим

Так как трапеция равнобедренная, то откуда

Тогда как прямоугольные с равными острыми углами. Следовательно,

Заметим, что в и — высоты в равнобедренных треугольниках и следовательно, и — медианы, то есть

Тогда

Тогда

Значит, Тогда

Таким образом,

а) Пусть прямая пересекает сторону в точке Тогда так как противоположные стороны ромба параллельны, то

Рассмотрим треугольники и В них как вертикальные. Следовательно, треугольники и подобны. Запишем отношение подобия:

Пусть Тогда и, так как у ромба равны все стороны, то

Рассмотрим треугольники и В них как вертикальные. Cледовательно, треугольники и подобны. Запишем отношение подобия:

Что и требовалось доказать.

б) Пусть Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому

Рассмотрим прямоугольный треугольник Сумма его острых углов равна поэтому

Пусть диагонали ромба пересекаются в точке

Вертикальные углы равны, поэтому

Рассмотрим треугольник Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому Тогда

Рассмотрим треугольники и В них Следовательно, треугольники подобны. Пусть

Для того, чтобы найти периметр ромба, нам нужно найти его сторону, а чтобы найти нам осталось узнать коэффициент подобия

Пусть Тогда Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, следовательно, Тогда

Пусть Тогда Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, следовательно, Тогда

Таким образом,

Тогда

Таким образом,

Значит, периметр ромба равен

а) Пусть прямая пересекает сторону в точке Тогда так как противоположные стороны ромба параллельны, то

Рассмотрим треугольники и В них как вертикальные. Следовательно, треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

Пусть Тогда Так как у ромба все стороны равны, то

Рассмотрим треугольники и В них как вертикальные. Cледовательно, треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

Что и требовалось доказать.

б) Пусть Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому

Рассмотрим прямоугольный треугольник Сумма его острых углов равна поэтому

Пусть диагонали ромба пересекаются в точке

Вертикальные углы равны, поэтому

Рассмотрим треугольник Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому Тогда

Рассмотрим треугольники и В них Следовательно, треугольники подобны по двум углам. Тогда коэффициент подобия равен

Для того, чтобы найти периметр ромба, нам нужно найти его сторону, а чтобы найти нам осталось узнать коэффициент подобия

Пусть Тогда Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, следовательно, Тогда

Пусть Тогда Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, следовательно, Тогда

Таким образом,

Тогда

Таким образом,

Значит, периметр ромба равен

а) Пусть — трапеция, описанная около данной окружности. Пусть Тогда суммы противоположных сторон трапеции равны, следовательно,

То, что окружность пересекает в двух точках, равносильно тому, что Если окружность не пересекает сторону или касается ее, то имеем:

Получили противоречие. Следовательно, окружность пересекает сторону в двух точках. Что и требовалось доказать.

б) Пусть окружность пересекает в точках и считая от точки Пусть Тогда Так как трапеция равнобедренная, то точка касания окружности с основанием делит его пополам. Следовательно, Так как отрезки касательных равны, то для точки касания окружности со стороной имеем:

Так как квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то

а) Пусть — трапеция, описанная около данной окружности. Пусть Тогда суммы противоположных сторон трапеции равны, следовательно,

Так как окружность не пересекает сторону то Тогда имеем:

Что и требовалось доказать.

б) Пусть — средняя линия трапеции и пусть окружность пересекает в точках и считая от точки

Средняя линия трапеции равна

Пусть Тогда Так как трапеция равнобедренная, то точка касания окружности с основанием делит его пополам. Следовательно, Так как отрезки касательных равны, то для точки касания окружности со стороной имеем:

Так как — средняя линия трапеции, то

Тогда получаем:

Так как квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то

Так как то должно выполняться

То есть корень не подойдет. Тогда получаем: