17.02 Задачи №17 из сборника И.В. Ященко

а) Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому и

Рассмотрим трапецию Её основание в два раза меньше основания Пусть продолжения её боковых сторон пересекаются в точке Тогда лежит на продолжении за точку и на продолжении за точку

Рассмотрим треугольник В нем отрезок является средней линией, так как он параллелен стороне и равен её половине. Тогда — середина — середина

Тогда — серединный перпендикуляр к стороне треугольника а — серединный перпендикуляр к его стороне Значит, — центр описанной окружности треугольника Тогда как радиусы описанной окружности треугольника

б) Пусть — середина Точка — точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника поэтому — серединный перпендикуляр к стороне то есть

Заметим, что

Тогда — это равнобедренный прямоугольный треугольник, так как в нем а медиана равна половине стороны, к которой проведена. Таким образом,

Углы и — внутренние углы параллелограмма, прилегающие к одной стороне следовательно,

Тогда

Треугольник равнобедренный, поэтому

Вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Заметим, что вписанный угол и центральный угол опираются на дугу поэтому

Тогда

Треугольник равнобедренный, поэтому

Значит,