17.02 Задачи №17 из сборника И.В. Ященко
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В квадрате 
на диагонали 
и на сторонах 
и 
отметили
соответственно точки 
и 
такие, что 
а прямая, проходящая
через точку 
параллельно прямой 
отсекает от квадрата треугольник,
площадь которого равна площади четырёхугольника 
и в четыре раза
меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если 
то 
б) Найдите отношение площадей треугольников 
и 
Источники:
Прежде чем решать пункты задачи, разберемся в конструкции из условия.
Пусть 
— точка пересечения диагоналей квадрата 
Пусть сторона
квадрата 
равна 
Тогда его площадь равна 
Значит,
отсекаемый треугольник и четырехугольник 
должны иметь площадь
Нам сказано, что прямая, проходящая через точку 
параллельно диагонали
отсекает от квадрата треугольник. Пусть это прямая 
Есть два варианта
её расположения.
- 1.
- Если точка
лежит на отрезке 
то прямая 
пересекает стороны
и 
Пусть в таком случае прямая
пересекает 
в точке 
а 
в
точке 
Тогда
— равнобедренный прямоугольный треугольник, так как
а 
— его высота и биссектриса. Тогда 
и
медиана, то есть 
Значит,
Таким образом,
Следовательно,
Теперь поймем как расположены точки
и 
По условию отрезки 
и
равны. Пусть 
Тогда
Значит,
В таком случае
то есть точки 
и 
совпадают.
Аналогично совпадаю точки 
и 
Значит, 
не является
четырехугольником, так как точки 
и 
лежат на одной прямой.
Таким образом, этот случай нам не подходит.
- 2.
- Если точка
лежит на отрезке 
то прямая 
пересекает стороны
и 
Пусть прямая
пересекает 
в точке 
а 
в точке 
Тогда аналогично предыдущему случаю
— равнобедренный
прямоугольный треугольник с площадью 
Значит, 
Теперь, так как точки
и 
лежат на 
и 
то 
точно
является четырехугольником.
Если
то
Пусть
Тогда
Значит,
а) По условию 
значит,
б) Пусть 
пересекает 
в точке 
Так как 
и 
то точки 
и 
симметричны
относительно диагонали 
Тогда 
Значит,
Таким образом,
В равнобедренном прямоугольном треугольнике 
медиана 
равна
Тогда
Следовательно,
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
