17.02 Задачи №17 из сборника И.В. Ященко
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольный треугольник 
с прямым углом 
вписана окружность с
центром в точке 
и радиусом 
К этой окружности параллельно прямой 
проведена касательная, которая пересекает стороны 
и 
в точках 
и
соответственно. В треугольник 
вписана окружность с центром в
точке 
и радиусом 
Прямые 
и 
пересекаются в точке
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника 
если 
Источники:
а) Пусть 
Так как 
и 
— центры вписанных в угол 
окружностей, то 
и 
равноудалены от сторон этого угла. Тогда точки 
и 
лежат на одной прямой и 
— биссектриса угла 
По
свойству биссектрисы имеем:
Что и требовалось доказать.
б) Проведем радиусы 
и 
в точки касания окружностей со
стороной 
Большая окружность вписана в прямоугольную трапецию
следовательно, ее радиус 
равен 
Меньшая окружность
вписана в прямоугольный 
следовательно, ее радиус 
равен
Далее, 
как прямоугольные с общим острым углом.
Примем 
и запишем отношение подобия:
Следовательно,
Следовательно,
С другой стороны,
При этом 
Следовательно,
Тогда искомая площадь равна
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
