17.02 Задачи №17 из сборника И.В. Ященко

а) Так как окружность с центром в точке касается гипотенузы то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен следовательно, — радиус этой окружности. Также Следовательно, равнобедренный и прямоугольный, значит,

Докажем, что центр вписанной окружности треугольника лежит на

Пусть — биссектриса угла Докажем, что

Рассмотрим и В них — общая сторона. Значит, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

Следовательно, так как то

значит, — биссектриса угла треугольника Значит, — точка пересечения биссектрис треугольника то есть является центром вписанной в этот треугольник окружности. Тогда

Для центра вписанной окружности треугольника доказательство аналогично.

То есть точки и лежат на отрезке а это и значит, что точки и лежат на прямой

б) Расстояние от точки до прямой равно высоте равнобедренного прямоугольного треугольника проведенной к гипотенузе Эта высота также является и медианой прямоугольного треугольника, поэтому равна половине гипотенузы, то есть

Так как то