17.02 Задачи №17 из сборника И.В. Ященко

а) Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов трапеции, следовательно,

Так как углы и — внутренние односторонние углы при параллельных прямых и и секущей то

Таким образом, получаем

Следовательно,

Аналогично доказывается, что Чтд.

б) Пусть — точки касания окружности со сторонами и соответственно.

Трапеция равнобедренная, то есть Следовательно, и равнобедренный. Отрезок является медианой как высота в равнобедренном треугольнике. Тогда — середина Аналогично доказывается, что — середина

Пусть где Тогда как отрезки касательных, проведенных из одной точки.

Так как то по обратной теореме Фалеса

Также заметим, что точки лежат на одной прямой, то есть — высота трапеции и одна из диагоналей четырехугольника

Так как а то Тогда

Найдем Проведем Тогда — параллелограмм, а также — параллелограмм, где Следовательно,

по двум углам, следовательно,

Следовательно,

Площадь трапеции равна

Тогда получаем следующее равенство:

 

Отсюда или Так как то