17.02 Задачи №17 из сборника И.В. Ященко
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность с центром в точке 
касается гипотенузы 
прямоугольного
треугольника 
и пересекает его катеты 
и 
в точках 
и 
Точка 
— основание высоты, опущенной из вершины 
Точки 
и 
—
центры окружностей, вписанных в треугольники 
и 
а) Докажите, что 
и 
лежат на отрезке 
б) Найдите расстояние от точки 
до прямой 
если 
Источники:
а) Так как окружность с центром в точке 
касается гипотенузы 
то радиус,
проведенный в точку касания, перпендикулярен 
Следовательно, 
—
радиус этой окружности. Также 
Следовательно, 
равнобедренный и прямоугольный, значит,
Докажем, что центр вписанной окружности 
треугольника 
лежит на
Для центра вписанной окружности 
треугольника 
доказательство
будет аналогично.
Пусть 
— биссектриса угла 
Докажем, что 
Рассмотрим 
и 
В них 
— общая сторона. Значит, треугольники 
и 
равны по двум
сторонам и углу между ними. Следовательно,
Следовательно, так как 
то
значит, 
— биссектриса угла 
треугольника 
Значит, 
—
точка пересечения биссектрис треугольника 
то есть является центром
вписанной в этот треугольник окружности. Тогда 
б) Расстояние от точки 
до прямой 
равно высоте равнобедренного
прямоугольного треугольника 
проведенной к гипотенузе 
Эта высота
также является и медианой прямоугольного треугольника, поэтому равна половине
гипотенузы, то есть
Так как 
то искомое расстояние равно
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
