17.02 Задачи №17 из сборника И.В. Ященко
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки 
— середины сторон соответственно 
и 
остроугольного треугольника 
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников 
и 
пересекаются в одной точке.
б) Известно, что 
и 
Найдите радиус окружности,
вписанной в треугольник, вершины которого — центры окружностей, описанных
около треугольников 
и 
Источники:
а) Пусть 
— вторая точка пересечения окружностей, описанных около
треугольников 
и 
Четырехугольник 
вписан в окружность, поэтому
Аналогично четырехугольник 
вписан в окружность, следовательно,
Следовательно,
Следовательно, четырехугольник 
также вписан в окружность, то
есть точка 
лежит на окружности, описанной около треугольника 
Чтд.
б) Докажем, что 
и 
— диаметры трех окружностей.
Пусть 
— центр окружности, описанной около 
Докажем, что
Так как 
— точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам
то 
Отсюда 
— вписанный,
следовательно, 
лежит на окружности, описанной около 
Аналогично доказывается, что 
лежит на двух других окружностях,
следовательно, 
— точка пересечения всех трех окружностей, то есть это и есть
точка 
Из того, что 
следует, что
и 
— диаметры трех окружностей.
Следовательно, если 
и 
— центры этих окружностей, то эти точки —
середины отрезков 
и 
соответственно, значит, 
и
— средние линии в 
и 
соответственно.
Следовательно, стороны 
равны половинам сторон 
значит, эти
треугольники подобны с коэффициентом подобия 
Тогда радиус окружности,
впписанной в 
в два раза меньше радиуса окружности, вписанной в
По формуле 
радиус окружности, вписанной в 
равен
б) 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
