17.02 Задачи №17 из сборника И.В. Ященко
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Отрезок, соединяющий середины 
и 
оснований соответственно 
и 
трапеции 
разбивает ее на две трапеции, в каждую из которых можно
вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция 
равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 
а меньшее основание 
исходной трапеции равно 
Найдите радиус окружности, касающейся
боковой стороны 
основания 
трапеции 
и вписанной в нее
окружности.
а) Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны.
Следовательно, 
и 
Так как
то левые части этих двух равенств одинаковы.
Следовательно, равны и правые части этих равенств, то есть 
откуда 
Следовательно, трапеция равнобедренная. Чтд.
б) По свойству равнобедренной трапеции 
Тогда 
равен двум радиусам вписанной в 
окружности, следовательно,
Пусть 
Тогда 
откуда 
Проведем 
Тогда 
Следовательно, по теореме Пифагора 
Подставляя 
получаем
Пусть 
— центр окружности, вписанной в 
— центр
окружности, касающейся 
и окружности с центром 
Проведем
радиусы 
и 
к 
Заметим, что если 
то 
—
квадрат, так как все углы прямые и смежные стороны равны радиусу
окружности с центром 
Тогда 
Тогда по теореме
Пифагора
Заметим, что так как обе окружности вписаны в угол 
то их центры
лежат на одной прямой 
являющейся биссектрисой этого угла. А так как
окружности касаются внешним образом, то сумма радиусов этих окружностей
равна расстоянию между их центрами. Тогда 
где
— искомый радиус (
) Тогда из 
следует,
что
б) 1
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
