17.02 Задачи №17 из сборника И.В. Ященко

а) Пусть — высота Заметим, что средняя линия параллельная делит точкой пополам. Также заметим, что — биссектриса, следовательно, центр окружности, вписанной в лежит на Пусть — центр этой окружности. Тогда — ее радиус. Заметим также, что то есть — расстояние от центра окружности до средней линии Прямая пересекает окружность в двух точках, если расстояние от центра окружности до этой прямой меньше радиуса окружности. Следовательно, требуется доказать, что

Воспользуемся формулой Площадь равна Полупериметр равен Следовательно,

Чтд.

б) Заметим, что — ось симметрии для и вписанной в него окружности. Следовательно, если пересекает окружность в точках и то

Имеем

Также Следовательно, по теореме Пифагора

Найдем по теореме Пифагора:

Следовательно,

Так как а в силу симметрии то искомое отношение равно