17.02 Задачи №17 из сборника И.В. Ященко

а) Пусть Тогда Так как как накрест лежащие при и секущей а — общий у и то эти треугольники подобны по двум углам. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

б) по трем сторонам ( равнобедренный, так как углы при стороне равны ). Следовательно, если то и — биссектрисы равнобедренных треугольников и проведенные к основанию Тогда они также являются высотами и медианами, следовательно,

По условию следовательно,

Найдем

Следовательно,

Тогда искомый отрезок равен

а) Пусть и Тогда нужно доказать, что

Тогда как накрест лежащие при и секущей

Треугольники и подобны по двум углам, так как общий и Запишем отношение подобия:

Что и требовалось доказать.

Так как то равнобедренный, значит, Далее, как односторонние углы при и секущей Следовательно, Тогда получаем следующие соотношения:

Что и требовалось доказать.

б) По пункту а) по условию следовательно, треугольники и равны по трем сторонам ( — общая). Отсюда и — биссектриса, а значит, медиана и высота в равнобедренном треугольнике Аналогично — биссектриса, медиана и высота в равнобедренном треугольнике

Далее, из условия следует

В прямоугольном имеем:

В прямоугольном имеем:

Тогда искомый отрезок равен

а) Проведем и рассмотрим и Так как равные хорды стягивают равные меньшие дуги, то меньшие дуги и равны, следовательно, как вписанные углы, опирающиеся на эти дуги. Это накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей Следовательно, Что и требовалось доказать.

б) По теореме синусов для

Проведем Тогда то есть Далее имеем:

Тогда из прямоугольного по теореме Пифагора

Следовательно, Значит,

Тогда

Замечание.

Четырехугольник не является прямоугольником, поскольку в таком случае для прямоугольного треугольника имели бы и что неверно.

а) Углы как вписанные, которые опираются на равные дуги, стягиваемые равными отрезками и Также эти углы являются накрест лежащими при прямых и и секущей Таким образом, Что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) следует, что по двум сторонам и углу между ними, так как — общая, (как вписанные, опирающиеся на равные дуги). Отсюда получаем Обозначим тогда по теореме Птолемея имеем:

Найдем

Пусть Рассмотрим Он вписан в ту же окружность, что и четырехугольник Следовательно, по теореме синусов

Тогда, так как получаем

По теореме синусов в

Тогда

а) Если четырехугольник описанный, то суммы противоположных сторон этого четырехугольника равны. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

б) Пусть — центр окружности, вписанной в Тогда и — радиусы этой окружности. Так как то точки лежат на одной прямой, следовательно, — высота трапеции равная

В равнобедренной трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, перпендикулярен основаниям, следовательно, и Так как — описанный, то суммы противоположных сторон равны, значит, если то

Следовательно, и тогда

Так как — вписанная трапеция, то ее площадь можно найти по формуле ( — полупериметр)

Так как то

Из находим, что следовательно,

Следовательно, В силу симметрии решаемой системы

относительно перемены местами и если принять, что получаем

Пусть Тогда по свойству равнобедренной трапеции Следовательно, Тогда по теореме Пифагора Если то следовательно, по теореме синусов

Так как окружность, описанная около это та же окружность, что описана около то мы нашли ее радиус и он равен

а) Пусть Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

б) Высота трапеции равна диаметру окружности, вписанной в эту трапецию. Проведем Тогда имеем:

Так как при этом то — параллелограмм и Тогда

Пусть полупериметр трапеции равен Тогда по формуле Брахмагупты квадрат площади этой трапеции равен

С другой стороны, площадь этой трапеции равна

Отсюда получаем уравнение

Из пункта а) следует, что

Подставим это в уравнение выше и получим

Обозначим и проведем Тогда окружность, описанная около есть окружность, описанная около По теореме синусов для этого треугольника

Найдем В прямоугольном треугольнике имеем:

Также имеем:

Тогда по теореме Пифагора из

Тогда искомый радиус равен

а) Так как окружность с центром в точке касается гипотенузы то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен Следовательно, — радиус этой окружности. Также Следовательно, равнобедренный и прямоугольный, значит,

Докажем, что центр вписанной окружности треугольника лежит на Для центра вписанной окружности треугольника доказательство будет аналогично.

Пусть — биссектриса угла Докажем, что

Рассмотрим и В них — общая сторона. Значит, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

Следовательно, так как то

значит, — биссектриса угла треугольника Значит, — точка пересечения биссектрис треугольника то есть является центром вписанной в этот треугольник окружности. Тогда

б) Расстояние от точки до прямой равно высоте равнобедренного прямоугольного треугольника проведенной к гипотенузе Эта высота также является и медианой прямоугольного треугольника, поэтому равна половине гипотенузы, то есть

Так как то искомое расстояние равно

а) Так как окружность с центром в точке касается гипотенузы то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен следовательно, — радиус этой окружности. Также Следовательно, равнобедренный и прямоугольный, значит,

Докажем, что центр вписанной окружности треугольника лежит на

Пусть — биссектриса угла Докажем, что

Рассмотрим и В них — общая сторона. Значит, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

Следовательно, так как то

значит, — биссектриса угла треугольника Значит, — точка пересечения биссектрис треугольника то есть является центром вписанной в этот треугольник окружности. Тогда

Для центра вписанной окружности треугольника доказательство аналогично.

То есть точки и лежат на отрезке а это и значит, что точки и лежат на прямой

б) Расстояние от точки до прямой равно высоте равнобедренного прямоугольного треугольника проведенной к гипотенузе Эта высота также является и медианой прямоугольного треугольника, поэтому равна половине гипотенузы, то есть

Так как то

а) Так как и — вписанные, то суммы противоположных углов для каждого четырехугольника равны Тогда и откуда Эти углы являются соответственными при и и секущей Следовательно,

Также и следовательно, Эти углы также являются соответственными при и и секущей следовательно, Тогда Следовательно, — либо трапеция, либо прямоугольник. Но так как косинус одного из углов ненулевой (что не выполнено для углов ), то — трапеция.

Также так как эти углы смежные. Отсюда и из вышезаписанного равенства следует, что Но следовательно, следовательно, трапеция равнобедренная. Чтд.

б) Пусть Проведем Тогда

По свойству равнобедренной трапеции

Проведем Пусть Тогда — параллелограмм, следовательно, Тогда

( — общий), следовательно,

Следовательно,

Проведем Тогда окружность, описанная около есть окружность, описанная около Следовательно, по теореме синусов

По теореме косинусов для

Тогда

Проведем Тогда по теореме косинусов для

Если — радиус окружности, описанной около то, так как эта же окружность является описанной около имеем по теореме синусов следующее:

а) Так как и — вписанные, то суммы противоположных углов для каждого четырехугольника равны Тогда и откуда Эти углы являются соответственными при и и секущей Следовательно, Что и требовалось доказать.

Также и следовательно, Эти углы являются соответственными при и и секущей следовательно, Отсюда

Тогда так как — вписанный четырехугольник и один из его углов не является прямым (по условию косинус одного из углов равен ), то — трапеция, причем равнобедренная.

б) Пусть Проведем Тогда

По свойству равнобедренной трапеции:

Проведем Пусть Тогда — параллелограмм, следовательно, Тогда

( — общий), следовательно,

Так как и то — параллелограмм и Следовательно,

Проведем Тогда окружность, описанная около есть окружность, описанная около Следовательно, по теореме синусов

По теореме косинусов для

Тогда

Проведем Тогда по теореме косинусов для

Если — радиус окружности, описанной около то так как эта же окружность является описанной около имеем по теореме синусов следующее:

а) Меньшие дуги, стягиваемые равными хордами, равны, следовательно, равны меньшие дуги и Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, следовательно,

Тогда при секущей и накрест лежащих углах Следовательно, Тогда — диаметр, так как вписанный

Следовательно, и как прямоугольные по общей гипотенузе и острому углу ( как вписанные и опирающиеся на равные дуги). Отсюда следовательно, — биссектриса в равнобедренном проведенная к основанию. Значит, — высота.

Таким образом, — высота и биссектриса в следовательно, он равнобедренный и также является и медианой. Значит, Что и требовалось доказать.

б) Пусть Тогда из имеем:

Следовательно,

Так как — высота и биссектриса, то равнобедренный и — медиана. Следовательно,

Также имеем:

Тогда искомая площадь равна

а) Так как и — вписанный четырехугольник, то — равнобедренная трапеция. Следовательно,

Углы как вписанные, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, так как то — равнобедренный. Отсюда следует, что — середина значит, также равнобедренный, то есть

Тогда следовательно, Так как эти углы являются соответственными при прямых и и секущей то Тогда — ромб, следовательно, — середина диагонали Что и требовалось доказать.

б) Так как и делит пополам, то — диаметр. Следовательно, Так как угол опирается на дугу в два раза большую, чем дуга, на которую опирается угол то и далее имеем:

По теореме косинусов из

Заметим, что по двум углам, следовательно,

Тогда окончательно имеем:

а) Заметим, что по построению и — равнобедренные трапеции, следовательно, диагонали каждой трапеции равны. Тогда у трапеции равны и у трапеции равны и Следовательно, Что и требовалось доказать.

б) Так как и — равнобедренные трапеции, следовательно,

Обозначим Тогда Заметим, что

— равнобедренный, причем

Следовательно, Проведем высоту Тогда также является и медианой. Из прямоугольного треугольника имеем:

Таким образом,

а) Так как — параллелограмм, то Из условия следует, что и равнобедренные, тогда Аналогично Тогда по двум сторонам и углу между ними, откуда следует, что Что и требовалось доказать.

б) Так как то Следовательно,

Тогда по теореме косинусов из

а) Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов трапеции. Так как то

Следовательно,

Аналогично доказывается, что Чтд.

б) Пусть — точки касания окружности со сторонами и соответственно. Так как трапеция равнобедренная, то следовательно, следовательно, равнобедренный и также является и медианой. Тогда — середина Аналогично доказывается, что — середина

Пусть Тогда как отрезки касательных. Следовательно, значит,

Также заметим, что лежат на одной прямой, то есть — высота трапеции и одна из диагоналей четырехугольника

Так как а то Тогда

Найдем Проведем Тогда — параллелограмм, а также — параллелограмм, где Следовательно,

следовательно,

Следовательно,

Площадь трапеции равна

Тогда получаем следующее равенство:

 

Отсюда или Так как то

а) Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов трапеции, следовательно,

Так как углы и — внутренние односторонние углы при параллельных прямых и и секущей то

Таким образом, получаем

Следовательно,

Аналогично доказывается, что Чтд.

б) Пусть — точки касания окружности со сторонами и соответственно.

Трапеция равнобедренная, то есть Следовательно, и равнобедренный. Отрезок является медианой как высота в равнобедренном треугольнике. Тогда — середина Аналогично доказывается, что — середина

Пусть где Тогда как отрезки касательных, проведенных из одной точки.

Так как то по обратной теореме Фалеса

Также заметим, что точки лежат на одной прямой, то есть — высота трапеции и одна из диагоналей четырехугольника

Так как а то Тогда

Найдем Проведем Тогда — параллелограмм, а также — параллелограмм, где Следовательно,

по двум углам, следовательно,

Следовательно,

Площадь трапеции равна

Тогда получаем следующее равенство:

 

Отсюда или Так как то

а) Пусть — вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников и

Четырехугольник вписан в окружность, поэтому

Аналогично четырехугольник вписан в окружность, следовательно,

Следовательно,

Следовательно, четырехугольник также вписан в окружность, то есть точка лежит на окружности, описанной около треугольника Чтд.

б) Докажем, что и — диаметры трех окружностей. Пусть — центр окружности, описанной около Докажем, что

Так как — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам то Отсюда — вписанный, следовательно, лежит на окружности, описанной около Аналогично доказывается, что лежит на двух других окружностях, следовательно, — точка пересечения всех трех окружностей, то есть это и есть точка Из того, что следует, что и — диаметры трех окружностей.

Следовательно, если и — центры этих окружностей, то эти точки — середины отрезков и соответственно, значит, и — средние линии в и соответственно. Следовательно, стороны равны половинам сторон значит, эти треугольники подобны с коэффициентом подобия Тогда радиус окружности, впписанной в в два раза меньше радиуса окружности, вписанной в По формуле радиус окружности, вписанной в равен

а) Продлим боковые стороны и трапеции до пересечения в точке Получим

Поскольку как соответственные при и секущей а — общий, то Так как то стороны в 2 раза меньше соответствующих сторон

Следовательно, точка — середина точка — середина Тогда и — серединные перпендикуляры к сторонам и соответственно.

Так как точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника — центр описанной окружности, то — центр описанной около окружности. Значит, и — радиусы этой окружности, следовательно,

б) Пусть Если — расстояние от точки до стороны то — серединный перпендикуляр к В наших обозначениях Тогда из по теореме Пифагора

По теореме синусов для

Выбираем так как в противном случае сумма углов будет больше

Тогда искомый угол равен

а) как вписанные углы, опирающиеся на диаметры и окружностей. как вертикальные углы. Следовательно, Эти углы являются накрест лежащими при и и секущей Следовательно, Чтд.

б) как прямоугольные по острому углу. Пусть Обозначим Тогда

Так как произведение секущей на ее внешнюю часть — величина постоянная для окружности, то

Так как квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то

Пусть Тогда как угол между касательной и хордой, заключающих дугу, на которую опирается вписанный угол Тогда из

Из имеем:

Следовательно,

Получаем систему:

как вертикальные. Рассмотрим По теореме синусов имеем:

Следовательно,

а) и — прямоугольные. Проведем прямую через точку — общая касательная обеих окружностей. Так как угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, заключенной между ними, то

Так как то Следовательно, и эти углы являются накрест лежащими при прямых и и секущей Отсюда следует, что Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что и — диаметры окружностей. Пусть Далее, по двум углам, следовательно,

По теореме Пифагора из имеем:

Тогда получаем