Теплопроводность —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47431

Закрытый сосуд с водой массой $m$ поставили на нагревательный элемент в результате чего, температура жидкости повысилась от $∘ 70 C$ до $∘ 71 C$ за 7 с. Если увеличить массу воды в два раза, а мощность нагревательного элемента в три раза, то изменение температуры от $70∘C$ до $71∘C$ происходит за 4 секунды. Найдите время, за которое температура воды массой $2m$ понизится от $∘ 71 C$ до $∘ 70 C$ , если нагревательный элемент отключить? Теплоёмкостью самого сосуда пренебречь.

(МОШ, 2019, 9)

Показать ответ и решение

Считаем, что в указанном интервале температур ежесекундный отток тепла $q$ одинаков - во всех случаях «охлаждение» происходит с поверхности сосуда. Тогда тепловой баланс даёт следующие соотношения:

C ΔT = (N − q)t , 1 2C ΔT = (3N − q)t2, 2CΔT = qt3,

где $t1 = 7c,t2 = 4 c,C −$ теплоемкость воды массой $m$ . Отсюда находим $t3 = 56 c$ .

(Официальное решение МОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47432

В феврале 2018 года в Москве наблюдалось резкое похолодание: днём на улице была температура $∘ − 7 C$ , а ночью она понизилась до $∘ − 20 C$ . В частном доме комнатная температура днём была равна $+ 20∘C$ . На сколько процентов нужно увеличить массовый расход топлива в газовом котле отопления дома для того, чтобы комнатная температура ночью оказалась не ниже $∘ + 23 C$ ? Мощность тепловых потерь можно считать пропорциональной разности температур в комнате и на улице, коэффициент пропорциональности от температуры не зависит.

(Всеросс., 2019, МЭ, 10)

Показать ответ и решение

Из закона сохранения энергии следует:

qμ1 = α (tд1 − t1), qμ2 = α (tд2 − t2)

где $μ = m ∕τ−$ массовый расход топлива, $q−$ удельная теплота сгорания топлива, $tд1$ и $tд2$ - температуры в доме днём и ночью, а $t 1$ и $t − 2$ температуры на улице до и после похолодания. Разделив первое уравнение на второе, получим:

μ1-= 27-, μ2 43

и искомая величина $μ2−μ1 = 16 ≈ 0,59 μ1 27$ , то есть массовый расход топлива нужно увеличить примерно на $59%$ .

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#47433

В трёхлитровую банку с водой опустили кипятильник мощностью $N = 280$ Вт. В результате вода нагрелась до $∘ t1 = 80 C$ , после чего её температура перестала изменяться. До какой температуры можно нагреть этим кипятильником воду в двухлитровой банке? Считайте, что обе банки геометрически подобны, заполняются водой полностью и закрываются крышками. Начальная температура воды равна $∘ t1 = 20 C$ и совпадает с температурой воздуха в комнате. Мощность теплопередачи окружающему воздуху считайте пропорциональной площади поверхности банки и разности температур воды и воздуха в комнате. Испарение воды не учитывайте! Удельная теплоёмкость воды равна $c = 4200 Дж ∕(к г ⋅∘ C )$ .

(Всеросс., 2017, ШЭ, 10)

Показать ответ и решение

Мощность теплопередачи окружающему воздуху в первом случае (после того, как температура воды в банке перестала изменяться):

N1 = αS1 (t1 − t) = N,

где $α$ - коэффициент пропорциональности, $S1−$ площадь поверхности, с которой идёт теплоотдача от трёхлитровой банки.

Мощность теплопередачи окружающему воздуху во втором случае (после того, как температура воды в банке перестала изменяться):

N2 = αS2 (t2 − t) = N,

где $S2−$ площадь поверхности, с которой идёт теплоотдача от двухлитровой банки, $t2−$ искомая температура.

C учётом того, что площадь поверхности банки пропорциональна квадрату её линейных размеров, а объём банки – кубу линейных размеров, окончательно получаем:

( ) 2 S1-(t1-−-t) s1- V1- 3 ∘ S (t − t) = 1 ⇒ t2 = t + S (t1 − t) = t + V (t1 − t) ≈ 98,6 C. 2 2 2 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#47434

Во время ремонта магазина были установлены новые рамы с двумя стёклами для витрин, конструкция которых приведена на рисунке: толщина $L$ толстого стекла равна 1 см, а тонкого — $l = 0,5$ см; расстояние между рамами равно 2 см. Одну раму установили толстым стеклом внутрь магазина, а другую — наружу. Какая температура воздуха установится между стёклами в каждой из рам, если температура в магазине $∘ + 20$ C, а на улице $∘ − 10$ C? Считается, что теплоотдача пропорциональна разности температур, а температура воздуха между стёклами из-за конвекции всюду одинакова.

(Всеросс., 1997, ОЭ, 9)

Показать ответ и решение

Так как теплопередача пропорциональна разности температур, то температура внутри стекла изменяется линейно. Очевидно, что температура воздуха между стеклами не зависит от расстояния между ними. Сложим два стекла вместе. Для этого случая график температуры представлен на рисунке. Линия $AA$ соответствует первому случаю, а линия $BB$ – второму. Из графика видно, что температура воздуха в раме, установленной толстым стеклом наружу, равна $∘ + 10 C$ , а во второй раме $− 0∘C$ .

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#47435

В кастрюлю поместили воду и лед при температуре $t0 = 0∘C$ и закрыли ее крышкой. Массы воды и льда одинаковы. Через время $τ =$ 2 ч 40 мин весь лед растаял.
1. Через какое время температура воды повысится на $1∘C$ ?
2. Какое время потребуется, чтобы вода нагрелась от $∘ 20 C$ до $∘ 21C$ ?

Температура воздуха в комнате $tк = 25∘C$ . Удельная теплоемкость воды $c = 4200$ Дж/(кг $⋅$ К). Удельная теплота плавления льда $λ = 3,2⋅105$ Дж/кг.

(Всеросс., 1996, финал, 9)

Показать ответ и решение

Теплообмен между кастрюлей и окружающей средой пропорционален разности температур $tк − t$ , где $t−$ температура кастрюли. При плавлении льда $t = t0 = 0∘C$ :

m λ m λ = A(tк − t0)τ, A =---------. (tк − t0)τ

Здесь $m$ - масса льда, $A$ - коэффициент пропорциональности. При нагревании воды массой $2m$ oт $∘ 0 C$ до $1∘C (Δt = 1∘C )$ теплообмен остался таким же, как и при плавлении льда. Поэтому можно записать:

Δτ1- cΔt ⋅2m = A (tк − t0)Δτ1 = mλ τ .

Отсюда

cΔt ⋅2τ Δτ1 = -------= 4,2 м ин. λ

При нагревании воды от $t = 20∘C$ до $21∘C (Δt = 1∘C)$ потребуется время $Δ τ 2$ :

Δ τ = Δ τ tк-−-t0-= 21 мин. 2 1tк − t

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Сказано, что теплообмен пропорционален разности температур	2

Записана формула количества теплоты при плавлении	2

Записана формула количества теплоты при изменении температуры	2

Сказано, что теплообмен оставался таким же	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#47436

В теплоизолированном цилиндре на расстоянии $L1 = 80$ см друг от друга находятся два легкоподвижных теплопроводящих поршня. Пространство между ними заполнено водой, а снаружи на поршни действует атмосферное давление (рис.).

Слева от левого поршня включили холодильник, который поддерживает постоянную температуру $∘ t1 = − 40$ C, а справа от правого — нагреватель, поддерживающий постоянную температуру $∘ t2 = 16$ C. Через некоторое время система пришла в стационарное состояние, и расстояние между поршнями стало $L2$ .

После этого поршни снаружи теплоизолировали и дождались установления теплового равновесия в цилиндре. Расстояние между поршнями стало $L3$ . Найдите расстояния $L2$ и $L3$ . Плотность льда $ρ = 900 кг∕м3 л$ , плотность воды $ρ = 1000 к г∕м3 в$ , Удельная теплоёмкость воды $c = 4200 в$ Дж/(кг $⋅∘C )$ , Удельная теплоёмкость льда $cл = 2100$ Дж/(кг $⋅∘C )$ , удельная теплота плавления льда $λ = 330$ кДж/кг, коэффициент теплопроводности льда в 4 раза больше коэффициента теплопроводности воды.

Указание. Считайте, что мощность теплового потока $P$ вдоль цилиндра, между торцами которого поддерживается постоянная разность температур $Δt$ , равна

kSΔt-- P = L

где $k$ - коэффициент теплопроводности среды, $S$ - площадь торца цилиндра, $L−$ длина цилиндра.

(Всеросс., 2013, финал, 9)

Показать ответ и решение

Пусть в первом случае столб воды имеет длину $L в$ , а столб льда $L л$ . Тогда:

Lв + Lл = L2. (1 )

Так как масса содержимого между поршнями постоянна:

L вρв + Lлρл = L1 ρв. (2)

Поскольку тепловые потоки через лёд и воду равны, то:

kS-(t2-−-t0)= 4kS-(t0 −-t1)-, гд е t = 0∘C. (3) Lв Lл 0

Из уравнения (3), с учетом заданных температур находим, что $L = 10L л в$ . Из уравнений (1) и (2) получим: $L в = 8$ см, и $L2 = 11L в = 88$ см . Тепловой поток $P$ через каждое сечение одинаков:

kS (t′− t′) P = -----2---1-- ΔL

где $t′1,t′2−$ температуры слева и справа от фрагмента цилиндра длиной $ΔL$ . Отсюда $′ ′ t2 − t1 = (P ΔL )∕(kS )$ , то есть $Δt ∼ ΔL$ . Это означает, что температура льда и воды от поршня до границы раздела изменяется по линейному закону, поэтому можно считать, что соответствующие части системы имеют среднюю температуру $($ лёд $∘ tл = − 20 C$ , вода $∘ tв = 8 C )$ . После того как систему теплоизолировали, между поршнями устанавливается тепловое равновесие с некоторой температурой $t$ . При охлаждении воды до температуры плавления выделится количество теплоты

Q1 = LвS ρвcвtв = 33600L вS ρв

Для нагревания льда до температуры плавления потребуется количество теплоты

Q2 = 10L вS0,9ρ вcл (0 − tл) = 378000L вS ρв.

Следовательно, вода точно охладится до $0 ∘C$ и начнет замерзать. При замерзании выделится количество теплоты

Q3 = λL вSρв = 330000L вS ρв.

Этого тепла не хватит, чтобы нагреть лед до температуры плавления. Следовательно, вся вода замерзнет. Тогда:

L = 10-L ≈ 88,9 см 3 9 1

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#100262

Имеется прямоугольник 1234 изготовленный из металлических стержней одинакового материала и одинакового сечения, причем длины сторон прямоугольника относятся как

1 − 2 : 1 − 4 = 1 : 2

Вершины 2 и 4 связаны таким же (но кривым) стержнем с длиной, втрое большей длины стержня 1-2. Температуры вершин 1 и 3 поддерживается постоянными и равными $t1 = 100∘$ , $t3 = 0∘$ . Найти температуры вершин 2 и 4?
Указание. Тепловой поток между точками, температуры которых поддерживаются постоянными, пропорционален разности температур точек, обратно пропорционален расстоянию между ними и коэффициенту теплопроводности среды между ними (закон Фурье). Считать, что боковые поверхности стержней теплоизолированы.

(Росатом, 2018, 10)

Источники: Росатом, 2018, 10

Показать ответ и решение

Очевидно, что в равновесии (когда все температуры не меняются) тепловой поток по стержню 1-2 равен сумме тепловых потоков по стержням $2 − 3$ и $2 − 4$ . Поэтому из закона Фурье имеем