.04 Закон Бернулли

Решение
1. В термодинамики энтропия определяется через её дифференциал, так что изменение энтропии системы задаётся выражением , где - теплота, поступающая в систему, а - температура системы. Кроме того, энтропия в обратимых термодинамических процессах является функцией состояния, то есть зависит только от текущего (равновесного) термодинамического состояния системы. Это означает, что при расчёте разности энтропии одного моля пара и жидкости температура, при которой происходил фазовый переход, не влияет на конечный результат.

Таким образом, наиболее удобно рассматривать два конечных состояния как отличающиеся только тем, что жидкость претерпевает испарение при , а водяной пар конденсируется. Конечная температура равна , потому что именно при этой температуре давление водяного пара равно (то есть температуре кипения при атмосферном давлении). Это соответствует теплоте пара 1 моль , поступающей в систему по сравнению с жидкостью. Следовательно, разность энтропии между одним молем пара и жидкости задаётся выражением:

2. Поскольку расширение воды является обратимым, энтропия сохраняется. Это означает, что изменение энтропии вследствие расширения пара компенсируется изменением энтропии при конденсации. Как обсуждалось ранее, поскольку энтропия является функцией состояния, наиболее удобно вычислить изменение энтропии, представив, что молей воды ( впоследствии сократится) охлаждаются и расширяются от до , а затем молей воды конденсируются. Величина определяется из условия в этом процессе.

Изменение энтропии пара находится путём применения первого закона термодинамики для малых приращений температуры и давления :

где - изменение внутренней энергии пара, а - работа, совершаемая паром. Важно отметить, что мы пренебрегаем объёмом воды по сравнению с паром, что позволяет использовать уравнение идеального газа для упрощения дифференциала работы. Используя уравнение состояния идеального газа, получаем:

Следовательно,

и, интегрируя, получаем:

где - теплоёмкость при постоянном давлении. Суммарное изменение энтропии тогда равно:

Отсюда находим:

Для нахождения массового расхода сначала определим скорость потока выходящей жидкости/ пара. Поскольку известно, мы можем применить закон сохранения энергии (необходимый для обеспечения обратимости) к движущемуся элементу воды. Это удобнее всего сделать, рассматривая систему в целом. Предположим, что за некоторый интервал времени в котле создаётся молей водяного пара объёмом . Тогда на выходе, в стационарном состоянии, благодаря сохранению числа частиц, удаляются молей пара объёмом и молей жидкой воды. Вытекающая вода обладает дополнительной кинетической энергией . Изменение энергии всей системы в обоих процессах должно взаимно компенсироваться в силу сохранения энергии. Это можно записать как:

где и - работы, совершаемые входящим и выходящим элементом, а и - внутренние энергии входящего и выходящего элементов. Обратите внимание, что для внутренней энергии выходящего элемента появляется дополнительное слагаемое . Это связано с тем, что скрытая теплота парообразования включает работу, совершаемую для расширения пара до занимаемого им объёма. Следовательно, эту работу следует вычесть из скрытой теплоты парообразования, чтобы получить реальное изменение внутренней энергии воды. Объединяя всё, получаем:

Следовательно,

Плотность воздуха на выходе находится из уравнения состояния идеального газа:

Тогда массовый расход водяного пара составляет:

однако необходимо учесть также вытекающую жидкую воду, поэтому общий массовый расход равен: