04 Закон Бернулли - Каталог заданий по Олимпиадной физике в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47440

На поршень горизонтально расположенного шприца площадью поперечного сечения $S1$ действует постоянная горизонтальная сила $F$ . С какой скоростью вытекает струя из отверстия площадью $S2$ , если плотность жидкости $ρ$ и поршень движется равномерно? Ответ дать в $м/ с$ . Округлить до целых.

Показать ответ и решение

Пусть скорость движения поршня $v1$ , а скорость струи на выходе из шприца $v2$ . Тогда по уравнению Бернулли

2 2 F--+ ρv-1 = ρv2-⋅ S1 2 2

Но, из уравнения неразрывности $v1S1 = v2S2$ . Обобщая всё написанное выше, получаем, что

∘ ------------ ---2F-S1--- v2 = ρ (S2 − S2) 1 2

Малой площадью выходного отверстия в последней формуле можно пренебречь.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47441

На столе стоит сосуд, заполненный жидкостью до высоты $H = 41 см$ . На какой высоте $h$ от дна сосуда надо сделать малое отверстие в боковой стенке сосуда, чтобы струя жидкости, вытекая из отверстия, падала на стол на расстоянии $L = 40 см$ от стенки сосуда по горизонтали. Жидкость считать идеальной (силами вязкого трения пренебречь). Уровень жидкости в сосуде поддерживается постоянным.

Показать ответ и решение

Воспользуемся законом Бернулли:

1- 2 2 ρv = (H − h)ρg

или, $∘ ----------- v = (H − h)2g$ , которая направлена горизонтально. Расстояние по горизонтали: $L = vt$ . Время можно найти исходя из свободного падения:

∘ --- 2h t = --- g

Следовательно:

∘ --- ∘ ----------- 2h ∘ ----------- L = 2g(H − h) ---= 2 (Hh − h2) g

L2 L2 ⇒ Hh − h2 = ---⇒ h2 − Hh + ---= 0 4 4

Данному уравнению удовлетворяют два корня: $h = 25$ см и $h = 16$ см.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94364

Площадь поршня в шприце $S1 = 1,2 см2,$ а площадь отверстия $S2 = 1 м м2.$ С какой скоростью и сколько времени будет вытекать из шприца жидкость, плотность которой равна $ρ$ , если ход поршня $l = 4 см$ и на него действуют с силой $F = 5 Н?$ Шприц расположен горизонтально.

Показать ответ и решение

Пусть $v1$ – скорость жидкости в шприце, а $v2$ – скорость жидкости на выходе из шприца. Рассмотрим жидкость, вытекающую из шприца, её объему равен объему выталкиваемой из шприца жидкости:

S1l = S2v2t

Отсюда можем выразить время, в течении которого будет вытекать жидкость:

S1l-- t = S2v2

Найдем скорость жидкости на выходе из шприца, для этого запишем уравнение Бернулли для жидкости в шприце и на выходе из него:

ρv21- ρv22- p1 + ρgh1 + 2 = p2 + ρgh2 + 2

Поскольку шприц горизонтален, уровень жидкости в шприце и на выходе из него одинаков:

h1 = h2

Давление на жидкость в шприце создаётся толканием поршня:

F = p1S1 + pатмS1

Тогда:

F-- p1 = S1 − pатм

На выходе из поршня давление жидкости равно атмосферному:

p = p 2 атм

Из условия неразрывности жидкости:

S1v1 = S2v2

Отсюда:

S2v2 v1 = ----- S1

Тогда уравнение Бернулли приобретает вид:

2 2 2 F--+ S-2ρv2-= ρv2- S1 S21 2 2

Отсюда:

∘ ----------- ---2F-S1--- v2 = ρ (S21 − S22)

Тогда время вытекания жидкости:

∘ ----------- ┌│ -----(-----------)- S1l ρ(S2 − S2) S1l│ ρS1 ( S2 )2 t = --- ---1----2--= ---∘ ---- 1 − --- S2 2F S1 S2 2F S1

Так как $S2 ≪ S1$ слагаемым $( ) S2 2 S-- 1$ можно пренебречь. Итого получаем:

∘ ---- t = S1l ρS1-= 0,52 с S2 2F

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94365

По наклонной плоскости берегового водосброса на гидроэлектростанции стекает широкий поток воды. На расстоянии $L$ от начала водосброса глубина потока уменьшается в 4 раза. Определите, на каком расстоянии от начала водосброса глубина потока была в 2 раза больше. Трением воды о стенки и дно водосброса можно пренебречь.

Показать ответ и решение

Пусть $v0$ – скорость потока на вершине наклонной плоскости, $v1$ – скорость на расстоянии $l$ от вершины, где глубина уменьшается в 2 раза, а $v2$ – скорость на расстоянии $L$ от вершины, где глубина уменьшается в 4 раза. $S ,S ,S 0 1 2$ – площади поперечного сечения потока жидкости в соответствующих местах. Из уравнения неразрывности жидкости получаем:

S v = S v = S v 0 0 1 1 2 2

При постоянной ширине потока площадь поперечного сечения можно заменить на глубину потока в соответствующем месте:

v0h0 = v1h1 = v2h2

Тогда:

h0- v1 = h1 v0 = 2v0

h v2 = --0v0 = 4v0 h2

Запишем закон сохранения энергии для потока жидкости в двух случаях:

mv20- mv21- 2 + mgl sin α = 2

mv20 mv22 -----+ mgL sinα = ----- 2 2

Здесь $m$ – масса элемента потока, а $α$ – угол наклона плоскости. Подставим выражения для скоростей потока:

2glsinα = 3v20

2gL sinα = 15v20

Поделив одно уравнение на другое получим:

L l = 5-

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#94366

Цилиндрический сосуд высоты $h$ с площадью основания $S$ наполнен водой. В дне сосуда открыли отверстие площадью $s ≪ S$ . Пренебрегая вязкостью воды, определить, через сколько времени вся вода вытечет из сосуда.

Показать ответ и решение

Рассмотрим малый объем воды, вытекающей через отверстие:

dV = svdt,

где $v$ – скорость потока жидкости.
С другой стороны объем воды в сосуде:

V = SH

Возьмем дифференциал и приравняем выражения для него:

SdH = svdt

По уравнению Торичелли:

∘ ----- v = − 2gH

Знак минус означает, что направление скорости не совпадает с направлением оси наполнения объема, подставим в наше выражение и разделим переменные:

d√H--- ∘ --- S H = − s 2gdt

Получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными, решим его интегрированием в заданных условиях:

√ --0 ∘ --- − 2S H |h = s 2gt

Тогда время вытекания жидкости:

∘ --- S 2h t = -- --- s g

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#94367

Вода вытекает из большого бака по изогнутой под прямым углом трубке, внутренний радиус которой $r = 0,50 см$ . Длина горизонтальной части трубки $l = 22 см$ . Расход воды $Q = 0,50 л/c$ . Найти момент сил реакции воды на стенки этой трубки относительно точки $O$ , обусловленный течением воды.

Показать ответ и решение

Пусть $v$ – скорость воды, протекающей по трубке. Распишем расход воды через изменение её объема:

Q = dV- = Svdt- = Sv dt dt

Площадь поперечного сечения трубки:

2 S = πr

Тогда:

v = -Q-- πr2

По закону об изменении импульса на воду, ударившуюся об угол трубки, действуют силы в горизонтальном и вертикальном направлениях. Момент силы относительно точки $O$ в горизонтальном направлении равен нулю, так как плечо силы равно нулю. Рассмотрим вертикальное направление:

dp vdm ρvdV Fy = ---y= -----= ------= ρQv dt dt dt

По третьему закону Ньютона сила реакции воды на трубку:

N = − F y

Момент силы реакции относительно точки $O$ :

M = N l = − ρQvl

Тогда модуль момента силы:

ρQ2l |M | = ---2-= 0,70 Н ⋅ м πr

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#94368

На малых реках иногда устанавливают бесплотинные гидроэлектростанции, которые представляют собой ряд водяных колес или турбин, опущенных в воду и соединенных с генератором электрического тока. Такая электростанция не изменяет параметров потока выше по течению, но, безусловно, меняет параметры потока ниже по течению. Определите максимальную теоретическую мощность электростанции, если русло реки имеет постоянную ширину $L$ , постоянную глубину и прямоугольную форму. Скорость течения реки перед электростанцией равна $v$ , а глубина воды $h$ . Воду считать несжимаемой жидкостью.

(Надежда Энергетики, 2023, 11)

Источники: Надежда Энергетики, 2023, 11

Показать ответ и решение

Теоретическая мощность электростанции (в пренебрежении потерь на трение в жидкости, в трансмиссии и не 100%-ом КПД генератора) равна разности потоков энергии в реке выше и ниже по течению. Поток энергии в реке складывается из двух частей. Первая представляет собой просто перенос кинетической и потенциальной энергии воды потоком и равна:

( 2 ) ρv--+ ρg h- v(hL ) 2 2

Вторая представляет собой работу сил давления воды в единицу времени:

ρgh ----v(hL ) 2

Итого получаем:

( 2 ) ρv--+ ρgh v(hL ) 2

Временно обозначая величины выше по течению индексом 1, а ниже по течению – индексом 2, запишем теоретическую мощность:

( ) ( ) ρv21- ρv22- W = 2 + ρgh1 v1(h1L) − 2 + ρgh2 v2(h2L)

При этом, в силу несжимаемости воды, должно выполняться условие равенства потоков выше и ниже по течению:

ρv1(h1L ) = ρv2(h2L)

Таким образом, из двух характеристик потока ниже по течению, $v2$ и $h2$ , только одна является независимой. Выражая, например, $v2$ через $h2$ , получаем мощность:

( ) ( ( )2 ) ( ( )) ρv21- ρ- v1h1- v1h1- 2 F1- F1-h21- h2- W = 2 + ρgh1 v1(h1L )− 2 h2 + ρgh2 h2 (h2L ) = ρgh1v1L 1 + 2 − 2 h22 + h1

Здесь введено безразмерное отношение:

v2 F1 = -1-, gh1

называемое числом Фруда, равное отношению кинетической и потенциальной энергий воды в верхнем течении. Мощность, как нетрудно убедиться, имеет максимум при:

h2 = h1F 11∕3

При этом число Фруда в нижнем течении:

v2 F2 = --2-= 1 gh2

Таким образом:

( ) 2 W = ρgh2 v L 1 + F1-− 3F 1∕3 , где F = v-1- max 1 1 2 2 1 1 gh1

(Официальное решение Надежда Энергетики)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#94369

Для измерения скорости потока воды в отопительной системе используется устройство, изображённое на рисунке (так называемый манометр Вентури). Скорость потока измеряется в трубе с диаметром $d1 = 2 см$ в месте установки манометра труба сужается до диаметра $d = 0,6 см 2$ . В верхней части П-образной манометрической трубки содержится масло с плотностью $3 ρm = 0,82 г/см$ . Вертикальные колена трубки врезаны в широкую и узкую части трубы с текущей водой. Рассматривая воду как идеальную несжимаемую жидкость, определите объём воды, протекающей через трубу в 1 с, если разность уровней воды в вертикальных коленах манометрической трубки $h = 1,2 см$ . Плотность воды $ρ = 1 г/см3$ .

Показать ответ и решение

Пусть $v1$ и $v2$ скорости потока в широкой и узкой частях сосуда соответственно. Запишем уравнение Бернулли для широкой и узкой частей сосуда:

2 2 p1 + ρv1-= p2 + ρv2-, 2 2

где $p1$ и $p2$ – давления в широкой и узкой частях сосуда
Условие несжимаемости жидкости:

v1S1 = v2S2,

где $S1$ и $S2$ – площади поперечного сечения широкой и узкой частей сосуда
Отсюда:

( ) ρ(v22-−-v21) ρv21S21- 1-- -1- p1 − p2 = 2 = 2 S22 − S21

Распишем расход воды:

∘ -------------- Q = dV1-= v1S1dt-= v S = --2(p1 −-p2)-- dt dt 1 1 ρ(S−2 2− S −12)

Распишем давления в широкой и узкой частях трубки:

p1 = p3 + ρgy1

p2 = p3 + ρgy2 + ρмgh

Здесь $p 3$ давление в масле на уровне $y 1$ . Площади поперечного сечения можно выразить через диаметры, итого для расхода воды получаем:

∘ --------------- π gh 1 − ρ м∕ρ Q = -- --- ⋅-−4----−-4 2 2 d2 − d1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#94370

Плотины многих ГЭС имеют в своей конструкции береговой водосброс, через который отводится избыточная вода из водохранилища во время экстремальных паводков. Такой водосброс представляет собой несколько наклонных бетонных желобов, чередующихся горизонтальными участками с устройствами гашения скорости потока воды. Скорость потока воды перед первым наклонным желобом равна $V1 = 20 м/с$ , а глубина потока $h1 = 3 м$ . Желоб, имеющий постоянное по длине прямоугольное сечение, наклонен под углом $30∘$ к горизонту и имеет длину $L = 50 м$ . Определите глубину потока $h2$ в конце желоба. Воду считать идеальной жидкостью.

Показать ответ и решение

Пусть $v2$ – скорость потока в конце желоба на расстоянии $L$ от вершины, а $S1$ и $S2$ – площади поперечного сечения в начале и в конце желоба соответственно. Запишем уравнение непрерывности для потока жидкости:

v1S1 = v2S2

При постоянной ширине желоба площадь поперечного сечения можно заменить на соответствующую глубину, тогда:

v1h1 = v2h2

Запишем закон сохранения энергии для потока жидкости:

mv2 mv2 ---1-+ mgL sin α = ---2, 2 2

где $m$ – масса элемента потока, $α$ – угол наклона водосброса
Выразим $v 2$ через $v 1$ и подставим:

2 2 ( )2 mv-1-+ mgL sin α = mv-1- h1- 2 2 h2

Отсюда:

∘ --------------- 2 h2 = h1 ------v1------= 2 м v21 + 2gL sin α

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#94371

Герметичный сосуд полностью заполнен водой и сообщается с атмосферой через трубку $T$ . Кран $K$ открывают. За какое время $t$ поверхность воды в сосуде опустится до нижнего края трубки $T$ ? Внутренний радиус сосуда $R = 10 см$ , внутренний радиус трубки с краном $r = 2 мм$ . Расстояние от нижнего конца трубки $T$ до верха сосуда $h = 20 см$ , а до трубки с краном – $H = 5 см$ . Объёмом трубки $T$ по сравнению с объемом вытекшей за время $t$ воды пренебречь.

Показать ответ и решение

После открытия крана трубка $T$ быстро заполняется воздухом и давление на уровне конца трубки будет оставаться постоянным и равным атмосферному. Скорость истечения воды из трубки с краном равна:

∘ ----- v = 2gH = const

Объем воды, вытекшей из сосуда, равен объему воды, протекшей через трубку с краном:

2 2 πR h = v πr t

Откуда:

2 t = --R√--h---≈ 500 с r2 2gH

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Сказано, что давление остается постоянным	2

Найдена скорость истечения воды из трубки	2

Найден объём вытекшей воды	2

Получена формула для времени	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#94372

Полностью заполненная водой ванна с вертикальными боковыми стенками освобождается от воды через открытое сливное отверстие в её горизонтальном дне за время $τ$ . Отверстие расположено в середине дна, и его площадь во много раз меньше площади поперечного сечения ванны. При открытом сливном отверстии вода свободно (без труб) выливается на пол. Если в ванну сначала насыпать до краёв мелкую гальку, а затем заполнить ванну водой, то в этом случае ванна опорожняется за время $τ ∕2$ . При этом камешки гальки не закрывают сливного отверстия! Через какое время опорожнится ванна, если $75%$ гальки убрать (то есть оставшиеся камушки будут находиться в нижней четверти ванны) и снова заполнить её водой до краёв? Вязкостью воды можно пренебречь. При решении задачи считайте, что камешки гальки уменьшают площадь поперечного сечения ванны, доступную для воды.

Показать ответ и решение

Распишем объем воды и приравняем к объему вылитой воды:

Sh = svt

Возьмем дифференциал от уравнения:

Sdh = svdt

По формуле Торичелли:

∘ ---- v = − 2gh

Знак минус означает то, что скорость направлена против оси, по которой идет возрастание высоты. Подставим в уравнение и преобразуем:

dh s ∘ ---- --- = − -- 2gh dt S

По условию $h(0) = H$ , получаем систему описывающую зависимость высоты от времени:

( ---- { dh- = − s-√ 2gh dt S ( h (0) = H

Найдем время, за которое вытекает воды из ванной, заполненной на четверть. В этом случае $H-- h (0 ) = 4$ , введем новые переменные - $′ ′ h = 4h, t = 2t$ . В новых переменных:

( dh′ s √ ----- { --′ = − -- 2gh′ ( dt S h′(0) = H

Получаем точно такую же систему уравнений как для заполненной полностью ванной, значит в этом случае также $h′ = 0$ при $t′ = τ$ , сделаем обратную замену и получим:

τ t = -- 2

За это время в отсутствии камней выливается последняя четверть ванной, тогда первые первые три четверти выливаются за время:

τ τ τ − --= -- 2 2

По условию времена, за которые выливается вода из ванной с камнями и без, отличаются в два раза. Исходя из имеющейся системы уравнений, это означает, что для ванной с камнями сечение, занятое водой отличается в два раза и равно $S -- 2$ . Тогда время, за которое выливается последняя четверть воды из ванной с камнями, также будет отличаться в два раза:

1 τ τ --⋅ --= -- 2 2 4

Если ванна заполнена на четверть камнями, первые три четверти воды будут выливаться как из ванны без камней, а последняя четверть как из ванны с камнями, тогда суммарное время:

τ τ 3 τ --+ --= --- 2 4 4

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#124697

Паровые турбины широко используются в электрогенерации. Рассмотрим упрощенную модель: вода кипит при температуре $tt = 180∘C$ и давлении $pt = 106$ Па (в реальности давления могут быть намного больше), а затем получившийся пар вылетает через цилиндрический канал сечением $A = 1 cm2$ . Давление в окружающем пространстве $5 p0 = 10$ Па.
1. Найдите измерение энтропии $ΔS$ одного моля пара и одного моля жидкости в вылетающей струе. Молярная масса воды $M = 18$ г/моль, удельная теплота парообразования при $100∘C : L = 2.3$ МДж/кг.
2. Найдите массовый расход $μ$ получившейся струи. Найдите также долю $r$ воды, находящейся в струе в жидкой фазе. Считайте, что при движении к каналу и в канале, расширение паров воды обратимо (т.е. теплопроводностью можно пренебречь, и жидкая и газообразная фаза всегда находятся в равновесии). Показатель адиабаты водяного пара $γ = 4∕3$ .
(NBPhO, 2021)

Показать ответ и решение

Решение
1. В термодинамики энтропия определяется через её дифференциал, так что изменение энтропии системы задаётся выражением $dS = dQ∕T$ , где $dQ$ - теплота, поступающая в систему, а $T$ - температура системы. Кроме того, энтропия в обратимых термодинамических процессах является функцией состояния, то есть зависит только от текущего (равновесного) термодинамического состояния системы. Это означает, что при расчёте разности энтропии одного моля пара и жидкости температура, при которой происходил фазовый переход, не влияет на конечный результат.

Таким образом, наиболее удобно рассматривать два конечных состояния как отличающиеся только тем, что жидкость претерпевает испарение при $t0 = 100∘C$ , а водяной пар конденсируется. Конечная температура равна $t0 =$ $100∘C$ , потому что именно при этой температуре давление водяного пара равно $p0$ (то есть температуре кипения при атмосферном давлении). Это соответствует теплоте пара $ΔQ = mL =$ 1 моль $⋅M L$ , поступающей в систему по сравнению с жидкостью. Следовательно, разность энтропии между одним молем пара и жидкости задаётся выражением:

ΔS = ΔQ-= 1 мол-ь-⋅M-L-= 110 Д ж ∕K. T0 T0

2. Поскольку расширение воды является обратимым, энтропия сохраняется. Это означает, что изменение энтропии вследствие расширения пара компенсируется изменением энтропии при конденсации. Как обсуждалось ранее, поскольку энтропия является функцией состояния, наиболее удобно вычислить изменение энтропии, представив, что $n$ молей воды ( $n$ впоследствии сократится) охлаждаются и расширяются от $T1,p1$ до $T0,p0$ , а затем $rn$ молей воды конденсируются. Величина $r$ определяется из условия $ΔS = 0$ в этом процессе.

Изменение энтропии пара находится путём применения первого закона термодинамики для малых приращений температуры $dT$ и давления $dp$ :

dQ dU + dW dSnap = T--= ----T---,

где $dU = ncvdT$ - изменение внутренней энергии пара, а $dW = pdV$ - работа, совершаемая паром. Важно отметить, что мы пренебрегаем объёмом воды по сравнению с паром, что позволяет использовать уравнение идеального газа для упрощения дифференциала работы. Используя уравнение состояния идеального газа, получаем:

( ) nRT- dp pdV = pd p = nRdT − nRT p .

Следовательно,

dSпар = n (cv + R ) dT-− nR dp, T p

и, интегрируя, получаем:

( ) ( ) T0 p0 ΔS пар = ncp ln T1 − nR ln p1 ,

где $cp = cv + R = R(i+ 2)∕2 = R γ∕(γ − 1)$ - теплоёмкость при постоянном давлении. Суммарное изменение энтропии тогда равно:

ΔS = 0 = ΔS +ΔS = ΔS − rnM-L-= oбщ пар конд пар T0

( T0) (p0) M L = ncpln T- − nR ln p- − rn-T--. 1 1 0

Отсюда находим:

( ( ) ( )) r = RT0- ln p1 − --γ--ln T1 = 0.114 M L p0 γ − 1 T0

Для нахождения массового расхода сначала определим скорость потока $v$ выходящей жидкости/ пара. Поскольку $r$ известно, мы можем применить закон сохранения энергии (необходимый для обеспечения обратимости) к движущемуся элементу воды. Это удобнее всего сделать, рассматривая систему в целом. Предположим, что за некоторый интервал времени в котле создаётся $n$ молей водяного пара объёмом $Vi$ . Тогда на выходе, в стационарном состоянии, благодаря сохранению числа частиц, удаляются $(1 − r)n$ молей пара объёмом $V0$ и $rn$ молей жидкой воды. Вытекающая вода обладает дополнительной кинетической энергией $n μv2∕2$ . Изменение энергии всей системы в обоих процессах должно взаимно компенсироваться в силу сохранения энергии. Это можно записать как:

W вх − W вых + Uвх − U вых − nM v2∕2 = 0,

где $W вх = p1V1 = nRT1$ и $W вых = p0V0 = (1− r)nRT0$ - работы, совершаемые входящим и выходящим элементом, а $Usx = cvnT1$ и $Uzx = cvnT0 − rnM L + rnRT0$ - внутренние энергии входящего и выходящего элементов. Обратите внимание, что для внутренней энергии выходящего элемента появляется дополнительное слагаемое $rp0V0 = rnRT0$ . Это связано с тем, что скрытая теплота парообразования включает работу, совершаемую для расширения пара до занимаемого им объёма. Следовательно, эту работу следует вычесть из скрытой теплоты парообразования, чтобы получить реальное изменение внутренней энергии воды. Объединяя всё, получаем: