.02 Алгебра. Теория колец и полей.

Пусть - поле. И пусть, кроме всех прочих аксиом поля, мы потребовали вдобавок, чтобы и ноль в был обратим по умножению.

Возьмем тогда произвольный . Тогда, ясно, что

Теперь, если 0 - обратим в , то для нуля найдется обратный элемент . Домножим это равенство на , получим

И раз - обратный по умножению для , то мы получим

Но был произвольным элементом . В том числе, мы в качестве могли бы взять и сам . И тогда бы получилось в конце концов, что

Таким образом, если разрешить обращение и нуля, то мы сможем доказать, что в любом кольце , чего бы нам, конечно, не хотелось.

Потому-то нам и рассказывают в школе, на ноль нельзя делить...