.02 Алгебра. Теория колец и полей.

a) Утверждается, что обратим тогда и только тогда, когда . То есть - это многочлен нулевой степени, то есть , причем (у нулевой константы ведь степень равна ).

Действительно, если , то, поскольку , а - это поле, то .

Следовательно, константный многочлен будет обратным для , ведь если их перемножить, то получится .

Если же , то есть , то он необратим, поскольку если бы он был обратим, то был бы обратим 0 в поле , что невозможно.

И, наконец, если , то есть если - многочлен хотя бы первой степени, то он необратим.

Действительно, предположим от противного, что - обратим, при условии, что . Тогда должен существовать такой , что .

Но тогда должны быть равны и степени левой и правой части:

Однако степень произведения равна сумме степеней:

Но . Значит, нельзя сложить ни с какой степенью, чтобы в сумме получилась степень константы 1, то есть 0 (так как степень бывает только неотрицательная, либо ).

Полученное противоречие доказывает, что никакой многочлен положительной степени не обратим.

b) Их нет. Действительно, если мы возьмём два ненулевых многочлена и перемножим их, то старший член их произведения будет равен просто произведению их старших членов (а их старшие члены, конечно, были ненулевыми, ведь сами многочлены и были ненулевыми).

И поскольку их старшие члены - ненулевые элементы поля , а, значит, поскольку в самом поле нет делителей нуля, то старший член у будет ненулевой.