.02 Алгебра. Теория колец и полей.

a) В будут обратимы в точности те (ненулевые) вычеты, которые взаимно просты с .

Действительно, , обратим по умножению тогда и только тогда когда существует такое , что в . То есть когда для некоторого выполнено

Или

Теперь, если , то левая часть уравнения выше делится на этот НОД, а правая - не делится. Значит, необходимо, чтобы .

На самом деле, этого и достаточно, потому что если , то по следствию их алгоритма Евклида поиска НОД-а, этот НОД всегда можно выразить линейной комбинацией , то есть как раз найдутся такие , что

Осталось только взять и привести по модулю и это и будет обратным по умножению для .

b) Вообще говоря, да. Например, в у нас , но . То есть 3 и 5 являются делителями нуля в . Однако, в , если - простое, делителей нуля нет.

c) Действительно, легко понять, что для любого составного в делители нуля будут - надо просто взять два вычета, меньших и дающих в произведении.

Однако, если - простое число, то представляет из себя коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором все кроме нуля вычеты обратимы по пункту a), сколь скоро все вычеты кроме нуля взаимно просты с простым числом .