.02 Алгебра. Теория колец и полей.

До поля не хватает только того свойства, что в нем каждый ненулевой элемент обратим. Докажем это, используя простоту , то есть тот факт, что в есть всего 2 идеала - это и .

Итак, пусть , . Почему - обратим? Рассмотрим идеал

- идеал кратных этому элементу . Очевидно, является идеалом - сумма кратных вновь кратна и любой элемент, кратный , умноженный на любой элемент , вновь будет кратным .

Ясно, что , поскольку в нем хотя бы есть сам , то есть . Но по предположению кольцо - просто, то есть в нем в принципе есть только 2 идеала. Следовательно, идеал обязан совпадать со всем кольцом .

В том числе это означает, что , а это по определению значит, что найдется такой , что

Этот , конечно, и будет обратным для .