.02 Алгебра. Теория колец и полей.

Подойдёт кольцо , где в качестве операции суммы берется обычное сложение трехмерных векторов, а в качестве операции произведения берется векторное произведение.

То, что - кольцо - проверяется легко исходя из свойств векторного произведения.

Это кольцо неассоциативно, поскольку, например, ежели мы возьмем , , то

Однако

Оно совсем очевидно некоммутативно, потому что векторное произведение меняет знак при перестановке своих аргументов.

И почти очевидно, что оно без единицы, поскольку если бы нашелся такой вектор , который был бы единицей относительно векторного произведения, то умножение на него ничего бы не меняло, в частности, он при умножении сам на себя давал бы сам себя:

Однако векторное произведение любого вектора с самим собой даёт нулевой вектор, и поэтому обязан быть равен нулевому вектору.

Но нулевой вектор, конечно, не может быть единицей относительно векторного произведения, потому что если нулевой вектор умножить на любой ненулевой, то получится нулевой, что уже противоречит определению единицы по умножению.