.02 Алгебра. Теория колец и полей.

1. Пусть - идеалы.

Почему - идеал? Действительно, берем любые . Раз они оба лежат в , то, коль скоро сам - идеал, то - замнкнут относительно сложения, а, значит, . По тем же причинам , а, значит,

Следовательно, пересечение идеалов замкнуто относительно сложения.

То, что выдерживает и умножение на любые элементы кольца - проверяется аналогично.

2. Пусть , , .

Тогда ясно, что идеалом не будет, потому что он не замкнут относительно сложения, например, и число 2 и число 3 лежат в , однако их сумма не лежит ни в , ни в , то есть не лежит в объединении . Поэтому в данном примере объединение идеалов не замкнуто даже относительно сложения.