.02 Алгебра. Теория колец и полей.

Пусть - произвольный идеал в . Сразу не очевидно, что этот идеал будет главным. Но уж по крайней мере, коль скоро - конечное множество, то и - и подавно конечно.

Следовательно, .

Тогда утверждается, что если , то

То есть идеал порождается одним лишь элементов .

Во-первых, почему вообще лежит в ? Потому что для любых существуют такие , что

(НОД любого количества чисел является линейной комбинацией с целыми коэффициентами этих самых чисел).

Ну а любая линейная комбинация с целыми коэффициентами (если эти целые коэффициенты привести по модулю ), конечно, лежит в просто по определению .

С другой стороны, любой другой элемент идеала имеет вид

Но поскольку все делятся на , то и их линейная комбинация делится на , то есть существует такое , что

Осталось только привести это равенство по модулю , и получить, что любой элемент идеала является кратным НОДа всех элементов идеала , то есть кратным .

Откуда и следует, что

Таким образом, в все идеалы главные.