.02 Алгебра. Теория колец и полей.

Рассмотрим в идеал

Проверим, что - это вообще идеал.

Пусть , то есть они имеют вид

Что тогда можно сказать про их сумму:

Следовательно, сумма - вновь такого вида, как и все элементы , потому что сумма многочленов с целыми коэффициентами - это опять многочлен с целыми коэффициентами.

Пусть , а - произвольный многочлен. Тогда

Следовательно, произведение - вновь такого вида, как и все элементы , потому что произведение многочленов с целыми коэффициентами - это опять многочлен с целыми коэффициентами.

Таким образом, мы проверили, что - это идеал.

Однако он не может быть главным. Докажем это от противного.

Пусть не так, и .

Ясно, что многочлен . (возьмем просто ).

Таким образом, по нашему предположению, многочлен является кратным многочлена , то есть существует такой , что

Откуда немедленно вытекает, что оба многочлена - степени ноль, то есть являются какими-то ненулевыми константами.

Более того, ясно даже какими, чтобы в произведении получилась двойка. Поскольку и и - многочлены с целыми коэффициентами, то чтобы в произведении получить константный многочлен 2, многочлен может быть равен либо , либо .

Ежели , то идеал будет просто совпадать со всем кольцом , чего быть не может, например, потому, что в не лежит многочлен .

Ежели , то это бы значило, что, например, многочлен обязан быть кратен многочлену , чего тоже не может быть, потому что любой многочлен, кратный будет иметь четный коэффициент при .

В обоих случаях мы получаем противоречие.