.02 Алгебра. Теория колец и полей.

То, что сложение определено корректно, можно не проверять, так как идеал фактически является нормальной подгруппой в по сложению, а то что в таком случае на факторе групповая операция не зависит от выбора представителя смежного класса, мы уже знаем.

Теперь, почему умножение смежных классов тоже корректно определено в ? Пусть

- два некоторых смежных класса по идеалу. Тогда, по определению их произведения в фактор-кольце, оно должно быть равно смежному классу

С другой стороны, пусть мы выбрали другого представителя в том и в другом смежном классе, то есть пусть

и и - наши новые представители в идеалах соответственно.

Тогда вроде бы произведение этих идеалов должно быть равно

И почему же оно совпадает с ?

По очень простой причине. возможно в том и только в том случае, когда существует такой , что

и аналогично возможно в том и только в том случае, когда существует такой , что

Таким образом,

Что и требовалось доказать.