.02 Алгебра. Теория колец и полей.

Когда мы факторизуем по неприводимому многочлену степени 1, ничего интересного не получается...

Действительно, построим гомоморфизм колец

Заданный правилом

Ясно, что , в том смысле, что ядром отображения является идеал, порожденный многочленом . Поскольку многочлен переходит в ноль, и в ноль перейдут в точности все многочлены, кратны , потому что они и только они зануляются в точке .

Более того, ясно, что - сюръективен, потому что существует многочлен, принимающий в точке любое наперед заданное значение. Следовательно, по основной теореме о гомоморфизмах:

То есть в результате факторизации здесь мы получаем просто-напросто поле вещественных чисел.

b) А вот это уже пример поинтереснее. Многочлен очевидно неприводим над , потому что в он не имеет корней, а для многочленов второй степени это критерий неприводимости.

На самом деле, то что здесь описано - это просто правильное построение поля комплексных чисел.

Действительно, построим гомоморфизм колец

Заданный правилом

Ясно, что , в том смысле, что ядром отображения является идеал, порожденный многочленом . Поскольку многочлен переходит в ноль, и в ноль перейдут в точности все многочлены, кратны , потому что они и только они (среди многочленов с вещественными коэффициентами) зануляются в точке .

Более того, ясно, что - сюръективен, потому что существует многочлен, принимающий в точке любое наперед заданное значение. Следовательно, по основной теореме о гомоморфизмах:

То есть в результате факторизации здесь мы получаем просто поле комплексных чисел.

В общем-то, мы так и строили ранее это поле, если задуматься. Мы присоединяли к некоторую переменную, только называли её не , как в этом рассуждении, а (но конкретная буква, конечно, неважна). Однако, рассматривали не любые выражения с этой буквой, то есть, в нашем примере, рассматривали не все , а только такие выражения, которые учитывают тот факт, что (или по старому ). Так вот всевозможные выражения с вещественными коэффициентами, но по модулю соотношения - это по сути фактор-кольцо

и есть. Поэтому ничего удивительного, что мы получили уже знакомое нам поле .