.02 Алгебра. Теория колец и полей.

1. Для того, чтобы перемножить эти элементы в поле , надо вначале перемножить представителей этих смежных классов как многочлены из :

А затем привести остаток по модулю :

Следовательно, результатом произведения на будет класс

2. Для того, чтобы сложить эти элементы в поле , надо вначале сложить представителей этих смежных классов как многочлены из :

А затем привести остаток по модулю . Но в данном случае приводить ничего не нужно, поскольку результат сложения уже имеет степень ниже 2. Следовательно, результатом суммы и будет класс

Далее, чтобы найти обратный для элемента , нам нужно найти такой многочлен степени ниже 2 с коэффициентами из , что .

То есть

и должно быть выполнено

В целом, нетрудно и подобрать такие значения. Пусть . Тогда

делится на , а именно,

Таким образом, обратным для элемента в поле будет элемент