.02 Алгебра. Теория колец и полей.

1. Размерность любого поля как векторного пространства нам самим же собой равна, конечно, 1.

А именно, в качестве базиса в над можно взять единицу поля . Ясно, что она линейно независима, и любой элемент является линейной комбинацией этой единицы с коэффициентами из :

2. . То есть как векторное пространство над бесконечномерно. Мы не будем уточнять, счетна или континуальна эта размерность, но уж по крайней мере она бесконечна.

Действительно, если бы , то это означало бы, что в можно было бы выбрать базис таких, что любой являлся бы некоторой линейной комбинацией этих базисных с коэффициентами из :

Однако, поскольку - фиксированы, а , то таких линейных комбинаций будет лишь счётное количество, потому что мы конечное число раз выбираем коэффициент , который может принимать счетное число значений.

3. .

Действительно, базисом в над является . И правда, каждое комплексное число является линейной комбинацией этих базисных с коэффициентами из , то есть для каждого существуют такие, что