.02 Алгебра. Теория колец и полей.

Нет, поскольку тогда оказалось бы счетным. Действительно, если бы это расширение было алгебраическим, то любой элемент будет алгебраическим над , то есть будет являться корнем некоторого многочлена с коэффициентами из . То есть всего вещественных чисел было бы не больше, чем всего корней всевозможных многочленов с коэффициентами из .

Однако, каждый многочлен имеет конечное число корней (не больше, чем его степень). А всего многочленов - счетно. Поэтому и их корней - счетно. Значит, хотя бы какое-то вещественное число не является корнем никакого многочлена с рациональными коэффициентами. Следовательно, есть хотя бы одно не алгебраическое в над число, а, значит, по определению расширение не может быть алгебраическим.

2. Да. Во-первых, уже достаточно сказать то, что , а любое конечномерное расширение - алгебраическое. Но давайте продемонстируем это в явном виде.

Пусть - комплексное число. Как же найти такой многочлен с вещественными коэффициентами, который зануляется в точке ?

Пусть .

Тогда ясно, что если бы мы взяли

то конечно был бы равен нулю.

Проблема только лишь в том, что - не с вещественными коэффициентами. Да и вообще крайне сомнительно, чтобы мы смогли найти многочлен с вещественными коэффициентами степени 1, зануляющийся в точке . Ведь очевидно, что если - корень многочлена с вещественными коэффициентами, то и - тоже будет его корнем.

По-видимому, нам просто-напросто нужно взять

И теперь - с вещественными коэффициентами и видно, что - его корень.