.02 Алгебра. Теория колец и полей.

Нет, на самом деле при фиксированных многочленах частное и остаток при делении на определены однозначно.

Действительно, пусть мы смогли двумя способами поделить на с остатком:

Тогда, вычитая эти равенства почленно:

то есть

Раз многочлен из левой части равен многочлену из правой части, то равны и их степени:

Но тогда, пользуясь тем, что для любых многочленов степень произведения равна сумме степеней, имеем:

Откуда видно, что степень разности остатков равна степени плюс что-то еще (а именно: ). Но уж точно из этого равенства следует, что степень не меньше, чем степень .

А это явное противоречие с тем, что и . Ведь если у обоих степень была строго меньше, чем у , то у их разности степень не могла оказаться больше либо равна, чем у .

Следовательно, чтобы равенство

было возможным, в его левой и правой части должны стоять минус бесконечности. То есть, степень произведения . Следовательно, многочлен нулевой, а раз делили мы на ненулевой , то, значит, - нулевой многочлен, то есть .

Но тогда, поскольку

то и . И мы с вами доказали единственность частного и остатка при делении многочлена на многочлен.