Теория чисел на БИБНе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что 
натуральных чисел: от 
до 
можно разбить на две группы так, чтобы сумма чисел первой группы
равнялась произведению чисел второй. а) Какое наименьшее и б) какое наибольшее количество чисел может быть во второй
группе?
Источники:
Пункт а, Подсказка 1
Раз просят наименьшее, то давайте будем пробовать добавлять по одному числу, начиная с 0. Что будет, если у нас всего одно число во второй группе?
Пункт а, Подсказка 2
Сумма оставшихся чисел не меньше 190 — сильно много. Теперь для двух чисел во второй группе.
Пункт а, Подсказка 3
211 = (a+1)(b+1), бывает ли так?
Пункт а, Подсказка 4
211 — простое. Приведите пример для трёх чисел.
Пункт б, Подсказка 1
Как можно снизу оценить произведение через количество выбранных чисел?
Пункт б, Подсказка 2
Если чисел хотя бы 6, то произведение хотябы 6! = 720 > 210. Значит, чисел не больше 5.
Пункт б, Подсказка 3
Предположим, подойдёт пятёрка (1,2,3,4,x). Найдите x.
a) Сумма всех чисел от 1 до 20 равна 210. Очевидно, что во второй группе больше одного числа, так как в противном случае оно
было бы равно сумме оставшихся 19 чисел, тоесть не меньше, чем 
Покажем, что на самом деле во
второй группе больше двух чисел. Действительно, в противном случае для чисел 
и 
из второй группы выполнялось бы
равенство
Раз 211 — простое число, следовательно, данное уравнение не имеет решений на промежутке от 1 до 20. Приведем пример второй группы из 3 чисел. Сначала возьмем единицу, будет верно, что
Нам подойдут тройки 
и 
б) Докажем, что чисел во второй группе меньше 6. В противном случае, наименьшее произведение чисел второй группы равнялось бы
Получили противоречие с равенством произведения чисел второй группы и суммы чисел первой группы. Подберем пример для случая,
когда во второй группе 5 чисел. Предположим, что подойдет пятерка вида 
где ![x ∈[5;20].](/api/latex-service/v1/GetSession/265101/index-389b89a7f5e1bbee456ac89b1744e776.svg)
Должно выполниться
условие
Подойдет набор 
а) 3; б) 5
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
