Теория чисел на БИБНе

Выразим

Разделим с остатком на

Тогда

Тогда является целым тогда и только тогда, когда 2024 делится на нечетное число Знаем, что Получаем, что может принимать значения делителей а именно Надо также учесть отрицательные числа, итого 8 значений.

a) Сумма всех чисел от 1 до 20 равна 210. Очевидно, что во второй группе больше одного числа, так как в противном случае оно было бы равно сумме оставшихся 19 чисел, тоесть не меньше, чем Покажем, что на самом деле во второй группе больше двух чисел. Действительно, в противном случае для чисел и из второй группы выполнялось бы равенство

Раз 211 — простое число, следовательно, данное уравнение не имеет решений на промежутке от 1 до 20. Приведем пример второй группы из 3 чисел. Сначала возьмем единицу, будет верно, что

Нам подойдут тройки и

б) Докажем, что чисел во второй группе меньше 6. В противном случае, наименьшее произведение чисел второй группы равнялось бы

Получили противоречие с равенством произведения чисел второй группы и суммы чисел первой группы. Подберем пример для случая, когда во второй группе 5 чисел. Предположим, что подойдет пятерка вида где Должно выполниться условие

Подойдет набор

Обозначим

Тогда . Возведем в квадрат

В случае или получаем, что левая часть равенства рациональна, а значит и правая тоже, то есть или . Если имеет место случай , то

В случае же (не умаляя общности ) получаем

И так как , равенство возможно только в случае . И тогда также То есть если или , то требуемое верно.

Пусть теперь . Преобразуем:

Равенство возможно только в случае, если справа рациональное число, то есть . Тогда получаем следующую систему

Эта система имеет вид

По следствию теоремы Виета и являются корнями уравнения . Но у квадратного уравнения максимум корня, поэтому либо и , либо и .

В первом случае получаем , что невозможно, кроме разобранного случая

Во втором случае , также невозможно, если

(a) Начертим граф возможных соседей. Рассмотрим три пары вершин в четырехугольниках на графе (они отмечены жирными точками), а именно: (2, 10), (1, 9) и (3, 11) — это вершины с наименьшей степенью (количеством соседей), равной 2.

Предположим, от противного, что есть простой путь на графе (т.е. без повторения вершин), проходящий через все вершины. Тогда найдется такая пара вершин среди трех указанных пар, что путь не начинается и не кончается в вершинах из этой пары (такая пара есть, т.к. концов у пути — два, а пар — три). Таким образом, обе вершины этой пары — “проходны”, но если впервые будет пройдена одна вершина из этой пары, то вторая вершина станет изолированной («отрезанной»: в неё нельзя будет попасть потом). Противоречие.

(b) Пример перестановки: 2, 5, 10, 7, 12, 9, 4, 1, 6, 3, 8, 11. Граф (см. рисунок) помогает построить подобный пример.

Возьмем пифагорову тройку, например, и будем рассматривать соотношения

для различных натуральных Если положить

то взяв число делящееся на 5, т.е. для натурального получим

Таким образом, при любом натуральном числа вида где и удовлетворяют исходному уравнению.

(a) Достаточно привести алгоритм получения нуля, поскольку меньше получить невозможно. Итак, сначала поделим числа кроме единицы на пары написав в них разности, получим набор из единиц, включая первоначальную. Далее разбиваем числа на пары и в каждой паре получаем в качестве разности затем с нулями можно делать что угодно.

(b) Пример на получение единицы можно вывести из предыдущего пункта, только делить будем на пары откуда получится единиц, то есть помимо нулей в разности получится дополнительная единица — далее от неё уже никак не избавиться, можно просто по очереди вычесть из неё все нули.

Остаётся показать, что ноль получить не выйдет. Действительно, изначально сумма всех чисел нечётна. При применении операции в этой сумме её чётность не поменяется, поскольку значит, её чётность не меняется. Тогда и оставшееся число будет нечётным и не равно нулю.