Теория чисел на БИБНе

Обозначим

Тогда . Возведем в квадрат

В случае или получаем, что левая часть равенства рациональна, а значит и правая тоже, то есть или . Если имеет место случай , то

В случае же (не умаляя общности ) получаем

И так как , равенство возможно только в случае . И тогда также То есть если или , то требуемое верно.

Пусть теперь . Преобразуем:

Равенство возможно только в случае, если справа рациональное число, то есть . Тогда получаем следующую систему

Эта система имеет вид

По следствию теоремы Виета и являются корнями уравнения . Но у квадратного уравнения максимум корня, поэтому либо и , либо и .

В первом случае получаем , что невозможно, кроме разобранного случая

Во втором случае , также невозможно, если