.03 Аффинные пространства. Геометрия евклидовых линейных и аффинных пространств.

a) Рассмотрим два случая. Ежели - множество из одной точки, то пара , очевидно, будет аффинным подпространством в исходном пространстве . Все аксиомы проверяются непосредственно. Это, грубо говоря, сдвинутое на некоторый вектор тривиальное линейное подпространство .

Однако, если - конечное множество, в котором более одного элемента, то вместе с любым подпространством в не может образовывать аффинного подпространства. Действительно, каково бы ни было ассоциированное с линейное подпространство в , если это подпространство нетривиально (а такой случай мы уже разобрали выше), то в нем уже автоматически должно быть бесконечное количество векторов, а, значит, раз замкнуто относительно приложения всех этих векторов к точкам из , то в самом будет бесконечное множество точек.

На языке систем линейных уравнений описываемая ситуация звучит так: если система линейных уравнений имеет решения, то она имеет либо одно решение, либо уже сразу бесконечно много.

b) Да. В качестве ассоциированного с подпространства в необходимо взять , где - направляющий вектор данной прямой . Все аксиомы проверяются непосредственно.

c) Да. В качестве ассоциированного с подпространства в надо взять

Все аксиомы проверяются непосредственно.

d) Нет. Давайте докажем это от противного. Пусть вместе с его ассоциированным линейным подпространством является аффиным подпространством.

Рассмотрим многочлены и . Оба они лежат, очевидно, в . Тогда многочлен обязан лежать в , ибо именно его нужно приложить к точке , чтобы получить . А тогда по определению аффинного подпространства обязан лежать в ассоциированном с линейном подпространстве.

Но тогда, и должен лежать в , ведь - линейное подпространство и, значит, оно замкнуто относительно умножения векторов на любые числа.

Но тогда, опять же, по определению аффинного подпространства, многочлен обязан лежать в , поскольку , а обязан лежать в ассоциированном с линейном подпространстве . Однако

и значение этого многочлена в точке 1 равно , а в точке 2 равно и если эти два числа перемножить, то получится , но никак не 3. Следовательно, не замкнуто относительно прикладывания векторов из к точкам из . Противоречие.