.03 Аффинные пространства. Геометрия евклидовых линейных и аффинных пространств.

1. Направляющий вектор прямой равен . Таким образом, ясно, что векторное подпространство в , ассоциированное с аффинным пространством прямой будет

2. Плоскость будет натянута на векторы . Таким образом, ясно, что векторное подпространство в , ассоциированное с аффинным подпространством плоскости будет

3. По формуле расстояния между аффинными подпространствами расстояние между и будет равно длине ортогональной составляющей на подпространство любого вектора, соединяющего любую точку из с любой точкой из .

Найдем базис в . Запишем их координаты в матрицу по строкам:

Поскольку очевидно, что ранг этой матрицы равен трём, то сами векторы и будут составлять базис суммы подпространств .

Теперь, в качестве произвольного вектора, соединяющего точку на прямой и точку в плоскости возьмем, скажем, . Чтобы найти ортогональную составляющую вектора на сумму , необходимо сначала найти ортогональное дополнение этой суммы до всего пространства . Для этого достаточно подобрать лишь такой ненулевой вектор , который будет ортогонален всем векторам .

Подойдет, скажем, вектор . Таким образом, все пространство разбивается в прямую сумму и его ортогонального дополнения .

Нам осталось разложить наш вектор до базиса , то есть представить его в виде

, то есть решить систему уравнений

Её решением является набор

Таким образом, наш вектор раскладывается следующим образом по базису :

Таким образом, ортогональная составляющая вектора на подпространство равна .

Следовательно, искомое расстояние равно