.03 Аффинные пространства. Геометрия евклидовых линейных и аффинных пространств.

Давайте сначала найдем базис в пространстве решений, то есть ФСР нашей однородной системы линейных уравнений

При помощи стандартного алгоритма получаем, что базис пространства решений, то есть базис нашего подпространства - это:

Теперь вспомним, что угол между и нашим подпространством равен .

Таким образом, нам нужно найти координаты проекции в подпространство , у которого мы только что нашли базис.

Для этого нам надо базис дополнить до базиса нашего исходного пространства при помощи векторов так, чтобы было базисом в .

Подберем и так, чтобы они были линейно независимы с и и при этом были бы им ортогональны:

Тогда любой вектор из в частности наш можно однозначно представить в виде

где , .

Для того чтобы записать такое представление, нам нужно просто разложить по базису .

То есть, надо понять, как представить в виде

Но это есть в точности задача о решении системы линейных уравнений

Решая её, находим

Тогда .

Следовательно,