.03 Аффинные пространства. Геометрия евклидовых линейных и аффинных пространств.

Найдем сначала базис в линейном подпространстве, которое задает наше аффинное подпространство.

Ясно, что это линейное подпространство - это общее решение однородной системы линейных уравнений

Поскольку любое решение неоднородной - это частное решение неоднородной + общее решение однородной, то и у нас любая точка нашей двумерной плоскости - это , где - частное решение неоднородной, а - любой вектор из , где - пространство решений ОСЛУ

При помощи стандартного алгоритма получаем, что базис пространства решений, то есть базис нашего подпространства - это:

Теперь вспомним, что расстояние между и нашей плоскостью равно , где - любая точка, удовлетворяющая неоднородной системе, то есть лежащая в плоскости. Возьмём точку , допустим, такую (от этого ничего не зависит, лишь бы она лежала в плоскости).

Таким образом, нам нужно найти координаты ортогональной составляющей относительно подпространства , у которого мы только что нашли базис.

Для этого нам надо базис дополнить до базиса нашего исходного пространства при помощи векторов так, чтобы было базисом в .

Подберем и так, чтобы они были линейно независимы с и и при этом были бы им ортогональны:

Тогда любой вектор из в частности наш можно однозначно представить в виде

где , .

Для того чтобы записать такое представление, нам нужно просто разложить по базису .

То есть, надо понять, как представить в виде

Но это есть в точности задача о решении системы линейных уравнений

Решая её, находим

Тогда .

Следовательно, искомое расстояние равно